El GMM generaliza una serie de estimadores comúnmente usados en econometría (incluyendo MCO, MV, VI, etc)
Asumimos que existen \(r\) condiciones de momentos independientes para \(q\) parámetros \[E(h(w_i,\theta_0))=0\]
donde \(\theta\) es un vector de \(q\times 1\), \(h(\cdot)\) es una función vector de \(r \times 1\) con \(r\geq q\)
\(w_i\) son los datos observables, incluyendo las variables dependientes, los regresores exógenos, potenciales regresores endógenos, así como instrumentos
La forma de \(h(\cdot)\) es equivalente a escoger el modelo
Por ejemplo:
| \(h(\cdot)\) | Método de estimación |
|---|---|
| \(x(y-x'\beta)\) | MCO |
| \(\partial\mathcal{L}/\partial\theta\) | MV |
| \(z(y-x'\beta)\) | VI |
Cuando \(r=q\), tenemos un modelo exactamente identificado, es decir, tenemos tantos momentos como parámetros a estimar
Podemos obtener el estimador de método de momentos \(\hat{\theta}_{MM}\) como la solución a
\[\frac{1}{N}h(w_i,\hat{\theta})=0\]
Los momentos poblacionales dan lugar a momentos muestrales que pueden ser usados para estimar los parámetros
Ejemplo: estimación de la media poblacional con observaciones iid y media \(\mu\)
El momento poblacional es:
\[E(y-\mu)=0\]
Si sustituimos con el momento poblacional, es decir, sustituyendo la esperanza con el operador del promedio obtenemos el momento muestral correspondiente:
\[\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N (y_i-\mu)=0\]
Al resolver para \(\mu\) obtenemos \(\mu_{MM}=\frac{1}{N}\sum_i y_i =\bar{y}\)
El estimador de MM de a media poblacional es la media muestral
El caso que nos ocupa más en el contexto de MC2E es cuando \(r>q\), es decir, un modelo sobreidentificado
En este caso, tenemos más ecuaciones que incógnitas en la condición de momentos
El estimador de método generalizado de momentos \(\hat{\theta}_{GMM}\) se define como el vector de parámetros que minimiza la forma cuadrática
\[Q_N(\theta)=\left(\frac{1}{N}\sum_ih(w_i,\theta)\right)'W_N\left(\frac{1}{N}\sum_ih(w_i,\theta)\right)\]
donde \(W_N\) es una matriz simétrica y positiva definida que no depende de \(\theta\)
Diferentes matrices \(W_N\) dan origen a distintos estimadores
Las COP son:
\[\left(\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N\frac{\partial h_i(\hat{\theta})'}{\partial\theta}\right)W_N\left(\frac{1}{N}\sum_{i=1}^Nh_i(\hat{\theta})\right)=\mathbf{0}\] donde para acotar la notación \(h_i(\theta)=h_i(w_i,\theta)\)
Esto es un sistema de ecuaciones en general no lineal y complicado de resolver
Recurrimos a métodos numéricos para encontrar \(\hat{\theta}_{MGM}\)
Podemos establecer teoría asintótica para mostrar las propiedades asintóticas del estimador de MGM
Proposición 6.1 en CT: bajo una serie de supuestos para poder establecer LGN y TLC, \(\hat{\theta}_{GMM}\), definido como una raíz de las condiciones de primer orden \(\partial Q_N(\theta) / \partial \theta=0\), es tal que:
\[\sqrt{N}\left(\hat{\theta}_{GMM}-\theta_0\right)\stackrel{a}{\sim}\mathcal{N}\left(0,(G_0'W_0G_0)^{-1}(G_0'W_0S_0W_0G_0)(G_0'W_0G_0)^{-1}\right)\]
donde \(W_0\) es una matriz finita, simétrica y positiva definida, y
\[ \begin{aligned} G_0&=p\lim\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N \left(\frac{\partial h_i}{\partial\theta'}\Bigg|_{\theta_0}\right) \\ S_0&=p\lim \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^N \left(h_i h_j \Bigg|_{\theta_0} \right) \end{aligned} \]
La derivación es un poco más complicada que la usada para los estimadores extremos, pero pueden ver una propuesta en la sección 6.3.9 de CT
Para implementar MGM debemos especificar las condiciones de momentos y la matriz \(W_N\)
En el caso de modelos sobreidentificados y con \(S_0\) conocida, el estimador de MGM más eficiente se obtiene al especificar \(W_N=S_0^{-1}\)
Con esta elección, la expresión para la varianza de \(\hat{\beta}_{MGM}\) se simplifica a
\[\sqrt{N}\left(\hat{\theta}_{GMM}-\theta_0\right)\stackrel{a}{\sim}\mathcal{N}\left(0,(G_0'S_0^{-1}G_0)^{-1}\right)\]
En la práctica, \(S_0\) es desconocida, así que la sustituimos por un estimador consistente \(\hat{S}\)
Importante: el que la elección de la matriz de varianzas óptima sea \(W_N=S_0^{-1}\) no ocurre por que \((G_0'S_0^{-1}G_0)\) se escribe mucho más corto que \((G_0'W_0G_0)^{-1}(G_0'W_0S_0W_0G_0)(G_0'W_0G_0)\)
Más bien, es óptima porque se puede mostrar que
\[(G_0'W_0G_0)^{-1}(G_0'W_0S_0W_0G_0)(G_0'W_0G_0)^{-1}\geq (G_0'S_0^{-1}G_0)^{-1}\]
para cualquier \(W_0\) positiva definida
Pueden ver una procedimiento para mostrar esto en Hayashi (2000) p. 245
En la práctica, no se conoce \(S_0\) sino que se sustituye por un estimador consistente \(\hat{S}\)
La matriz de varianzas se estima siguiendo un procedimiento de dos etapas
Obtener el estimador de MGM usando una matriz subóptima, generalmente \(W_N=I_r\) y con estos coeficientes obtener un estimador para \(S_0\): \[\hat{S}=\frac{1}{N}\sum_i h_i(\hat{\theta})h_j(\hat{\theta})'\]
Obtener un estimador de MGM óptimo o estimador de MGM de dos etapas óptimo \(\hat{\theta}_{MGM,O}\) minimizando
\[Q_N(\theta)=\left(\frac{1}{N}\sum_ih(\theta)\right)'\hat{S}^{-1}\left(\frac{1}{N}\sum_ih(\theta)\right)\]
La distribución límite de \(\hat{\theta}_{MGM,O}\) es normal, centrada en \(\theta_0\)
Para estimar la varianza de \(\hat{\theta}_{MGM,O}\) usamos
\[\hat{V}(\hat{\theta}_{MGM,O})=N^{-1}(\hat{G}\tilde{S}^{-1}\hat{G})^{-1}\]
donde \(\hat{G}\) y \(\tilde{S}\) se evalúan en \(\hat{\theta}_{MGM,O}\)
Consideremos el modelo lineal
\[y_i=x_i'\beta + u_i\]
Supongamos que algún componente de \(x\) es endógeno, por lo que recurrimos a un instrumento que cumple con:
\[E(u_i|z_i)=0\]
La restricción de exclusión nos especifica una condición de momentos
\[E(z_i(y_i-x_i'\beta))=0\]
El estimador MGM minimiza la forma cuadrática siguiente
\[ \begin{aligned} Q(\beta)&=\left(\frac{1}{N}\sum_i (y_i-x_i'\beta)z_i\right)'W_N\left(\frac{1}{N}\sum_i (y_i-x_i'\beta)z_i\right) \\ &=\left(\frac{1}{N}(y-X\beta)'Z\right)W_N\left(\frac{1}{N}Z'(y-X\beta)\right) \end{aligned} \]
Las condiciones de primer orden son
\[\frac{\partial Q_N(\beta)}{\partial\beta}=-2\left(\frac{1}{N}X'Z\right)W_N\Big(\frac{1}{N}Z'(y-X\beta)\Big)=0\]
Resolviendo para \(\beta\) obtenemos el estimador lineal de VI de GMM:
\[\hat{\beta}_{GMM}=(X'ZW_NZ'X)^{-1}X'ZW_NZ'y\]
Las propiedades asintóticas de este estimador se pueden obtener de manera similar a como se obtuvieron las del estimador de MCO o usando las propiedades más generales para problemas de MGM
Podemos hacer un procedimiento similar al que hacíamos con MCO
\[ \begin{aligned} \hat{\beta}_{GMM}&=(X'ZW_NZ'X)^{-1}X'ZW_NZ'(X\beta+u) \\ &=\beta + (X'ZW_NZ'X)^{-1}X'ZW_NZ'u \end{aligned} \] Por lo tanto, reescalando:
\[ \begin{aligned} \sqrt{N}(\hat{\beta}_{GMM}-\beta)&=\sqrt{N}(X'ZW_NZ'X)^{-1}X'ZW_NZ'u \\ \end{aligned} \] Si podemos aplicar un TLC a \(\frac{1}{\sqrt{N}}Z'u\) entonces
\[\frac{1}{\sqrt{N}}Z'u\xrightarrow{d}\mathcal{N}(0,S)\]
con \(S=\lim\frac{1}{N}\sum_iE(u_i^2z_iz_i')\)
El estimador \(\hat{\beta}_{MGM}\) es asintóticamente normal, centrado en \(\beta\) y con una varianza asintótica estimada dada por
\[\hat{V}(\hat{\beta}_{GMM})=N(X'ZW_NZ'X)^{-1}(X'ZW_N\hat{S}W_NZ'X)(X'ZW_NZ'X)^{-1}\]
donde \(\hat{S}\) es un estimador consistente de \(S\)
Dependiendo de si estamos en un modelo exactamente identificado o sobreidentificado y de cómo especificamos la matriz \(W_N\), los resultados anteriores sobre \(\hat{\beta}_{GMM}\) y \(\hat{V}(\hat{\beta}_{GMM})\) se especializan
¿Cómo estimamos \(\hat{S}\)
En el caso general, con posible heterocedasticidad:
\[\hat{S}=\frac{1}{N}\sum_i\hat{u}_i^2z_iz_i = \frac{1}{N}Z'DZ\] con
\[ D= \begin{pmatrix} \hat{u}_1^2 & 0 & 0 &\ldots 0 \\ 0 & \hat{u}_2^2 & 0 &\ldots 0 \\ \vdots \\ 0 & 0 & 0 &\ldots \hat{u}_n^2 \\ \end{pmatrix} \] Con homocedasticidad, se simplifica a:
\[\hat{S}=\frac{1}{N}s^2Z'Z\]
Para obtener el estimador óptimo escogemos una forma particular para la matriz de pesos
\[W=\hat{S}^{-1}\] Y entonces el estimador de MGM se vuelve
\[\hat{\beta}_{GMM,O}=(X'Z\hat{S}^{-1}Z'X)^{-1}X'Z\hat{S}^{-1}Z'y\] Si permitimos heterocedasticidad arbitraria, obtenemos \(\hat{\beta}\) en una primera etapa con una matriz subóptima para calcular \(\hat{S}\)
Luego obtenemos \(\hat{\beta}_{GMM,O}\) usando \(\hat{S}^{-1}\) como matriz de pesos
Y el estimador de varianza se simplifica a
\[ \begin{aligned} \hat{V}(\hat{\beta}_{GMM,O})&=N(X'Z\hat{S}^{-1}Z'X)^{-1}X'Z\hat{S}^{-1}\hat{S}\hat{S}^{-1}Z'X(X'Z\hat{S}^{-1}Z'X)^{-1} \\ &=N(X'Z\hat{S}^{-1}Z'X)^{-1} \end{aligned} \]
Para estimar \(\hat{S}\) usamos los residuales dados por \(\hat{u}_i=y_i-X\hat{\beta}_{GMM,O}\)
Si estamos dispuestos a asumir errores homocedásticos
\[\hat{S}^{-1}=\left(\frac{1}{N}s^2Z'Z\right)^{-1}\]
Y entonces hacemos
\[W=\left(\frac{1}{N}Z'Z\right)^{-1}\]
Con esta simplificación, el estimador de MGM es
\[ \begin{aligned} \hat{\beta}_{MC2E}&=(X'Z(Z'Z)^{-1}Z'X)^{-1}X'ZZ(Z'Z)^{-1}Z'y \\ &=(X'P_ZX)^{-1}X'P_Zy \end{aligned} \]
Este es el estimador de MC2E, también llamado estimador de variables instrumentales generalizado
A \(P_Z=Z(Z'Z)^{-1}Z'\) se le conoce como matriz de proyección
Y la matriz de varianzas se simplifica a
\[\hat{V}(\hat{\beta}_{MC2E})=s^2\left(X'P_z X\right)^{-1}\]
Este estimador también se conoce como estimador de variables instrumentales generalizado porque generaliza el estimador de VI al caso sobreidentificado
Tambien se conoce como estimador de MGM de una etapa por obvias razones
En el caso cuando \(r=q\), es decir, tantos instrumentos como variables endógenas, \(X'Z\) es una matriz cuadrada que puede ser invertida, resultando que
\[(X'ZW_NZ'X)^{-1}=(Z'X)^{-1}W_N^{-1}(X'Z)^{-1}\]
Sustituyendo esto en la forma general del estimador de MGM obtenemos:
\[ \begin{aligned} \hat{\beta}_{VI}&=(X'ZW_NZ'X)^{-1}X'ZW_NZ'y \\ &=(Z'X)^{-1}W_N^{-1}(X'Z)^{-1} X'ZW_NZ'y\\ &=(Z'X)^{-1}Z'y \\ \end{aligned} \]
Este es el estimador de variables instrumentales
En otras palabras, el estimador de MGM es igual al de VI para cualquier matriz \(W_N\)
Con posible heterocedasticidad, tenemos una matriz de varianzas de la forma
\[\begin{align}\hat{V}(\hat{\beta}_{VI})&=N(Z'X)^{-1}\hat{S}(X'Z)^{-1}\end{align}\]
con \(\hat{S}=Z'DZ/N\), y donde \(D=diag[\hat{u}_i^2]\)
Y con homocedasticidad, la matriz de varianzas de nuevo es:
\[\hat{V}(\hat{\beta}_{VI})=s ^2\left(X'P_z X\right)^{-1}\]
Siguiendo las convenciones de Cameron y Trivedi (2005)
El estimador de MGM es el estimador para el caso general de método de momentos, cuales quiera que sean las formas de los momentos especificados
El estimador óptimo de MGM ocurre cuando asumimos una forma particular para la matriz de pesos, \(W=\hat{S}^{-1}\)
El estimador óptimo de MGM se emplea en el caso más general de modelos de variables instrumentales sobreidentificados con heterocedasticidad
El estimador de variables instrumentales generalizado se obtiene cuando asumimos homocedasticidad en el modelo sobreidentificado y lleva el apellido generalizado porque es la generalización del estimador IV para el caso sobreidentificado
El estimador de variables instrumentales surge en el modelo exactamente identificado