#Hacemos MCO ignorando la solución de esquina
mmco <- lm(hours ~ nwifeinc + educ + exper +
expersq + age + kidslt6 + kidsge6,
data = data.part)
#Si truncamos la muestra
mmcot <- lm(hours ~ nwifeinc + educ + exper +
expersq + age + kidslt6 + kidsge6,
data = filter(data.part,hours>0))
#Usando tobit
mtobit <- AER::tobit(hours ~ nwifeinc + educ + exper +
expersq + age + kidslt6 + kidsge6,
left = 0,
data = data.part)Modelos de muestras seleccionadas
Irvin Rojas
Mecanismos de censura y truncamiento
Consideremos una variable latente \(y^*\) que se observa de acuerdo a una regla de observación \(g(\cdot)\)
Lo que observamos es \(y=g(y^*)\)
Censura
Siempre observamos \(X\) pero no \(y\):
Censura por abajo: \(y=\begin{cases}y^* \quad \text{si }y^*>L \\ L \quad \text{si }y^*\leq L \end{cases}\)
Censura por arriba: \(y=\begin{cases}y^* \quad \text{si }y^*<U \\ U \quad \text{si }y^*\geq U \end{cases}\)
El típico ejemplo de censura se encuentra en los datos top coded, como los de ingreso
Otro ejemplo es la oferta laboral: en un problema de optimización, las horas óptimas pueden ser negativas, pero entonces observamos la variable censurada en el cero
Truncamiento
Tanto \(X\) como \(y\) son no observados para ciertos valores de \(y\)
Truncamiento por abajo: \(y=y^*\) si \(y^*>L\) y no osbervada si \(y^*\leq L\)
Truncamiento por arriba: \(y=y^*\) si \(y^*<U\) y no osbervada si \(y^*\geq U\)
Función de verosimilitud censurada
La censura y el truncamiento cambian la función de verosimilitud de los datos observados
Verosimilitud censurada (usando censura por abajo)
Cuando \(>L\), la densidad de \(y\) es la misma que la de \(y^*\), es decir, \(f(y|x)=f^*(y|x)\)
Cuando \(y=L\), la densidad es discreta con masa igual a la probabilidad de que \(y^*\leq L\)
En resumen \[ f(y|x)= \begin{cases} f^*(y|x) \quad\text{si } y>L \\ F^*(L|x)\quad\text{si }y=L \\ \end{cases} \]
La densidad es un híbrido entre una función de masa de probabilidad (una densidad propiamente) y una función de densidad acumulada
Función de verosimilitud censurada
Definamos
\[ d= \begin{cases} 1\quad\text{si }y>L \\ 0\quad\text{si }y=L \\ \end{cases} \]
Entonces la densidad condicional debido a la censura es
\[f(y|x)=f^*(y|x)^dF^*(L|x)^{1-d}\]
Y la función de log verosimilitud será \[\mathcal{L}_N(\theta)=\sum_i\left(d_i\ln f^*(y_i|x_i,\theta) + (1-d_i)\ln F^*(L_i|x_i,\theta)\right)\]
Noten que hemos dejado abierta la opción de que \(L\) difiera entre individuos, es decir, que \(L=L_i\)
Si la densidad de \(y^*\), \(f^*(y^*|x,\theta)\), está bien especificada, \(\theta_{MV}\) es consitente y asintóticamente normal
Función de verosimilitud truncada
Consideremos el caso de truncamiento por abajo
Noten que la función de densidad de \(y\) es
\[ \begin{aligned} f(y)&=f^*(y|y>L) \\ &=\frac{f^*(y)}{P(y|y>L)}\\ &=\frac{f^*(y)}{1-F^*(L)} \end{aligned} \]
Entonces, la log verosimilitud truncada es:
\[\mathcal{L}_N(\theta)=\sum_i\left(\ln f^*(y_i|x_i,\theta)-\ln(1-F^*(L_i|x_i,\theta))\right)\]
Modelo Tobit
Es una modelo simple y con supuestos muy fuertes sobre la estructura de la censura
Tobin (1958) lo planteó originalmente como una forma de modelar la compra de bienes durables (muchos hogares gastan 0 en bienes durables)
Consideramos un proceso con errores normales \[ \begin{aligned} &y^*=x'\beta+\varepsilon \\ &\varepsilon\sim\mathcal{N}(0,\sigma^2) \end{aligned} \]
Supongamos que observamos \(y\) de acuerdo a la siguiente regla:
\[ y= \begin{cases} y^*\quad\text{si }y^*>0 \\ -\quad\text{si } y^*\leq 0\\ \end{cases} \]
Modelo Tobit
Con los errores normales, podemos definir la cdf como \[ \begin{aligned} F^*(0)&=P(y^*\leq0) \\ &=P(x'\beta+\varepsilon\leq 0) \\ &=\Phi(-x'\beta/\sigma) \\ &=1-\Phi(x'\beta/\sigma) \end{aligned} \]
Esto nos permite definir la densidad censurada como \[ f(y)=\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}exp\left(-\frac{1}{2\sigma^2}(y-x'\beta)^2\right)\right)^d\left(1-\Phi\left(\frac{x'\beta}{\sigma}\right)\right)^{1-d} \]
Y entonces la función de log verosimilitud será \[ \begin{aligned} \mathcal{L}_N(\beta,\sigma^2)&=\sum_i\left( d_i\left(-\frac{1}{2}\ln(\sigma^2)-\frac{1}{2}\ln(2\pi)-\frac{1}{2\sigma^2}(y_i-x'\beta)^2\right)+ \right. \\ &\left. +(1-d_i)\ln\left(1-\Phi\left(\frac{x_i'\beta}{\sigma}\right)\right) \right) \end{aligned} \]
Condiciones de primer orden
\[\frac{\partial \mathcal{L}_N}{\partial \beta}=\sum_i\frac{1}{\sigma^2}\left(d_i(y_i-x_i'\beta)-(1-d_i)\frac{\sigma \phi_i}{1-\Phi_i}\right)x_i=0\] \[\frac{\partial \mathcal{L}_N}{\partial \sigma^2}=\sum_i\left(di\left(-\frac{1}{2\sigma^2}+\frac{(y_i-x_i'\beta)^2}{2\sigma^4}\right)+(1-d_i)\left(\frac{\phi_ix_i'\beta}{(1-\Phi_i)2\sigma ^3}\right)\right)=0\]
La solución se obtiene numéricamente
\(\hat{\theta}\) es consistente si la densidad está bien especificada
El estimador de MV es asintóticamente normal: \(\theta\stackrel{a}{\sim}\mathcal{N}(\theta,V(\hat{\theta}))\)
Maddala (1983) y Amemiya (1985) proveen expresiones para la matriz de varianzas
Nota sobre terminología
El modelo Tobit fue plantado inicialmente para un problema de censura en cero
Cuando nos refiramos al Tobit estaremos pensando en la estructura particular que tienen \(y^*\) y \(y\)
Si en vez de censura, ocurriera truncamiento, la log verosimilitud sería \[\mathcal{L}_N(\beta,\sigma^2)=\sum_i \left(-\frac{1}{2}\ln(\sigma^2)-\frac{1}{2}\ln(2\pi)-\frac{1}{2\sigma^2}(y_i-x'\beta)^2-\ln\left(\Phi(x_i'\beta/\sigma)\right)\right)\]
Ejemplo: tobit
Veamos un problema típico de economía laboral, la participación de las mujeres en el mercado de trabajo
Usemos unos datos bastante estudiados mroz.csv
Ejemplo: tobit
Estimemos ahora el tobit, usando tobit del paquete AER
También estimamos MCO a la muestra completa y a la muestra de participantes
Ejemplo: tobit
| (1) | (2) | (3) | |
|---|---|---|---|
| (Intercept) | 1330.482 | 2056.643 | 965.305 |
| (270.785) | (346.484) | (446.436) | |
| nwifeinc | -3.447 | 0.444 | -8.814 |
| (2.544) | (3.613) | (4.459) | |
| educ | 28.761 | -22.788 | 80.646 |
| (12.955) | (16.434) | (21.583) | |
| exper | 65.673 | 47.005 | 131.564 |
| (9.963) | (14.556) | (17.279) | |
| expersq | -0.700 | -0.514 | -1.864 |
| (0.325) | (0.437) | (0.538) | |
| age | -30.512 | -19.664 | -54.405 |
| (4.364) | (5.894) | (7.419) | |
| kidslt6 | -442.090 | -305.721 | -894.022 |
| (58.847) | (96.450) | (111.878) | |
| kidsge6 | -32.779 | -72.367 | -16.218 |
| (23.176) | (30.361) | (38.641) | |
| Num.Obs. | 753 | 428 | 753 |
| R2 | 0.266 | 0.140 | |
| R2 Adj. | 0.259 | 0.126 | |
| AIC | 12117.1 | 6863.2 | 7656.2 |
| BIC | 12158.7 | 6899.7 | 7697.8 |
| Log.Lik. | -6049.534 | -3422.581 | |
| F | 38.495 | 9.792 | |
| RMSE | 746.18 | 718.92 | 953.68 |
Modelos de muestras seleccionadas
Las muestras pueden estar seleccionadas
- Por el econometrista
- Por que los agentes escogen participar
Ecuación de participación
\[ y_1= \begin{cases} 1\quad\text{si } y_1^*>0\\ 0\quad\text{si } y_1^*\leq 0 \end{cases} \] Ecuación de resultados
\[ y_2= \begin{cases} y_2^*\quad\text{si } y_1^*>0\\ NA \quad\text{si } y_1^*\leq 0 \end{cases} \]
Por tanto
\[ \begin{aligned} y_1^*=x_1'\beta_1+\varepsilon_1 \\ y_2^*=x_2'\beta_2+\varepsilon_2 \\ \end{aligned} \] En el caso en que \(y_1^*=y_2^*\), el modelo se colapsa al Tobit
Modelo de Heckman
No hay consenso de cómo llamarlo
El estimador que veremos fue desarrollado por Heckman
Algunos otros autores le llaman Tobit de Tipo II o modelo con ecuación de selección
Supuesto: errores con distribución conjunta normal
\[ \begin{pmatrix} \varepsilon_1 \\ \varepsilon_2 \end{pmatrix}\sim \mathcal{N}\left(A, B \right) \] \(A=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}\)
\(B=\begin{pmatrix} 1 & \sigma_{12} \\ \sigma_{21} & \sigma_2^2 \\ \end{pmatrix}\)
\(\sigma_1^2=1\) es una normalización
Resultados de la distribución normal conjunta
Por nuestro supuesto de normalidad resulta que: \(\varepsilon_2=\sigma_{12}\varepsilon_1 +\xi\)
\(\xi\) es independiente de \(\varepsilon_1\)
Media truncada
\[E(y_2|x,y_1^*>0)=x_2'\beta_2+E(\varepsilon_2|\varepsilon_1>-x_1'\beta_1)\]
Usando el resultado de la normalidad de los errores
\[ \begin{aligned} E(y_2|x,y_1^*>0)&=x_2'\beta_2+E(\sigma_{12}\varepsilon_1+\xi|\varepsilon_1>-x_1'\beta_1) \\ &=x_2'\beta_2+\sigma_{12}E(\varepsilon_1|\varepsilon>-x_1'\beta_1) \\ &=x_2'\beta_2+\sigma_{12}\lambda(x_1'\beta_1) \end{aligned} \]
Similarmente
\[V(y_2|x,y_1^*)=\sigma_2^2-\sigma_{12}^2\lambda(x_1'\beta_1)(x_1'\beta_1+\lambda(x_1'\beta_1))\]
Resultados de la distribución normal conjunta
Media censurada
Cuando \(y_2=0\) si \(y_1^*<0\)
\[ \begin{aligned} E(y_2|x)&=E_{y_{1}^{*}}(E(y_2|x,y_1^*)) \\ &=P(y_1^*\leq 0 | x)\times 0+P(y_1^* > 0 | x)E(y_2^*|X,y_1^*>0) \\ &=0+\Phi(x_1'\beta_1)(x_2'\beta_2+\sigma_{12}\lambda(x_1'\beta_1)) \\ &=\Phi(x_1'\beta_1)x_2'\beta_2 + \sigma_{12}\phi(x_1'\beta_1) \end{aligned} \]
Estimación por MV
Bajo los supuestos de normalidad podemos escribir la verosimilitud como sigue
\[L=\prod_{i=1}^{N} P(y_{1i}^*\leq 0)^{1-y_{1i}}\left(f(y_{2i}|y_{1i}^*>0)\times P(y_{1i}^*>0)\right)^{y_{1i}}\]
La forma final de la log verosimilitud es una fórmula larga que no tiene caso plantear aquí (ver Amemiya, 1985, p. 368)
La intuición es que los parámetros de interés, especialmente \(\beta_1\), son estimados de la misma manera en que hemos hecho en otros problemas
El vector de parámetros estimados será consistente si la verosimilitud está bien planteada
Estimador de Heckman en dos etapas
Algunos autores lo conocen como heckit
Consiste en ver el problema como uno de variable omitida donde la variable omitida es \(\lambda(x_{1i}'\beta_1)\)
Podemos pensar el problema en dos etapas
Probit de \(y_1\) en \(x_1\) usando toda la muestra, dado que asumimos que \(P(y_1^*>0)=\Phi(X_1'\beta_1)\):
Usamos \(\hat{\beta}_1\) para calcular el estimado del inverso de la razón de Mills:
\[\lambda(x_i'\hat{\beta}_1)=\frac{\phi(x_1'\hat{\beta}_1)}{\Phi(x_1'\hat{\beta}_1)}=\hat{\lambda}(x_1'\hat{\beta}_1)\]
Usamos los valores positivos de \(y_2\) para estimar la regresión \[y_{2i}=x_{2i}'\beta_2+\sigma_{12}\lambda(x_{1i}'\beta_1)+v_i\]
Estimador de Heckman en dos etapas
Usando el resultado de la varianza truncada podemos estimar \[\sigma_2^2=\frac{1}{N}\sum_i(\hat{v}_i+\hat{\sigma}_{12}^2\hat{\lambda}_i(x_1'\beta_1+\hat{\lambda}_i))\] donde \(\hat{v}_i\) son los residuales estimados
La correlación de errores puede ser estimada como \[\hat{\rho}=\hat{\sigma}_{12}/\hat{\sigma}_2\]
Por tanto, una prueba de que \(\rho=0\) o \(\sigma_{12}=0\) es una prueba de si los errores están correlacionados y si es necesaria la correción por muestra seleccionada
Poner atención a la significancia del inverso de la razón de Mills en la segunda etapa
Ejemplo: heckit
Usamos datos de una muestra de hogares que reportan sus gastos médicos ambulatorios limdep_ambexp.dta
Muchos hogares tienen cero gastos
Ejemplo: heckit
Procedimiento en dos etapas
Ejemplo: heckit
Usamos modelsummary para presentar los resutlados
| Dependent variable: | ||||
| lambexp | dambexp | lambexp | ||
| Heckman | probit | OLS | ||
| selection | ||||
| (1) | (2) | (3) | (4) | |
| income | 0.003** | |||
| (0.001) | ||||
| age | 0.207*** | 0.197*** | 0.087*** | 0.197*** |
| (0.023) | (0.024) | (0.027) | (0.023) | |
| female | 0.328*** | 0.278*** | 0.664*** | 0.278*** |
| (0.060) | (0.066) | (0.061) | (0.065) | |
| educ | 0.062*** | |||
| (0.012) | ||||
| blhisp | -0.222*** | -0.182*** | -0.366*** | -0.182*** |
| (0.061) | (0.065) | (0.062) | (0.064) | |
| totchr | 0.524*** | 0.490*** | 0.796*** | 0.490*** |
| (0.039) | (0.043) | (0.071) | (0.042) | |
| ins | 0.169*** | |||
| (0.063) | ||||
| imr | -0.555** | |||
| (0.230) | ||||
| Constant | 5.357*** | 5.496*** | -0.669*** | 5.496*** |
| (0.138) | (0.156) | (0.194) | (0.154) | |
| Observations | 3,328 | 3,328 | 3,328 | 2,802 |
| R2 | 0.192 | 0.192 | ||
| Adjusted R2 | 0.191 | 0.191 | ||
| Log Likelihood | -1,195.516 | |||
| rho | -0.426 | |||
| Inverse Mills Ratio | -0.555** (0.233) | |||
| Residual Std. Error | 1.269 (df = 2796) | |||
| F Statistic | 132.859*** (df = 5; 2796) | |||
| chi2 | 513.826*** (df = 7) | |||
| Note: | p<0.1; p<0.05; p<0.01 | |||
Errores estándar
Para estimar la varianza hay que considerar dos cosas:
- Sabemos que \(V(y_2|x,y_1^*>0)\) depende de \(X\), es decir, la varianza es heterocedástica
- En la segunda etapa, \(\hat{\lambda}_i\) no es observado sino estimado
Heckman (1979) provee las fórmulas de los errores correctos (R y otros paquetes ya lo implementan correctamente)
Efectos marginales
Definamos en un solo vector \(x=[x_1\;x_2]\)
Podemos reescribir \(x_1\beta_1=x'\gamma_1\) y \(x_2'\beta_2=x'\gamma_2\), donde \(\gamma_1\) y \(\gamma_2\) tendrán algunas entradas iguales a cero si \(x_1\neq x_2\)
Así, la media truncada es \[E(y_2|x)=x'\gamma+\sigma_{12}\lambda(x'\gamma_1)\]
Y los efectos marginales relevantes son:
Proceso sin censura: \(\frac{\partial E(y_2^*|x)}{\partial x}=\gamma_2\)
Truncado en cero: \(\frac{\partial E(y_2|x, y_1=1)}{\partial x}=\gamma_2-\sigma_{12}\lambda(x'\gamma_1)(x'\gamma_1+\lambda(x'\gamma_1))\)
Censurado en cero: \(\frac{\partial E(y_2|x)}{\partial x}=\gamma_1\phi(x'\gamma_1)x'\gamma_2+\Phi(x'\gamma_1)\gamma_2-\sigma_{12}x'\gamma_1\phi(x'\gamma_1)\gamma_1\)
Detalles de la estimación
En teoría, los parámetros del modelo de dos ecuaciones están identificados si los mismos regresores se incluyen en ambas ecuaciones
Pero cuando imponemos errores normales, al hacer \(x_1=x_2\) y, recordando que el IRM es casi lineal para un rango grande de su argumento, la segunda ecuación indica que
\[E(y_2|y_1^*>0)\approx x_2'\beta_2+a+bx_2'\beta_1\] Es decir, el modelo está cerca de no estar identificado
Por tanto, en la práctica, se recomienda que haya una o varias variables que estén en una ecuación y no en la otra
Algunos autores llaman a esto restricción de exclusión, término que no me gusta tanto porque se confunde con la misma restricción en el contexto de variables instrumentales
Resumen
Tanto el tobit como el modelo de muestras seleccionadas recaen en fuertes supuestos distribucionales
En el modelo de muestras seleccionadas relajamos el supuesto de que el mismo proceso da origen a la censura o truncamiento, y a la variable dependiente
El tobit requiere de una interpretación de \(y^*\) similar a la de horas deseadas
El modelo de muestra seleccionada es más intuitivo para un proceso del tipo:
Decisión de participación
Margen intensivo