\[\hat{\beta}_{GMM}=(X'ZW_NZ'X)^{-1}X'ZW_NZ'y\]
\[\hat{V}(\hat{\beta}_{GMM})=N(X'ZW_NZ'X)^{-1}(X'ZW_N\hat{S}W_NZ'X)(X'ZW_NZ'X)^{-1}\]
Para obtener el estimador óptimo escogemos una forma particular para la matriz de pesos:
\[W=\hat{S}^{-1}\]
Y entonces el estimador de MGM se vuelve:
\[\hat{\beta}_{GMM,O}=(X'Z\hat{S}^{-1}Z'X)^{-1}X'Z\hat{S}^{-1}Z'y\]
Y el estimador de varianza se simplifica a:
\[\hat{V}(\hat{\beta}_{GMM,O})=N(X'Z\hat{S}^{-1}Z'X)^{-1}\]
Hasta aquí no asumimos nada sobre la forma de los errores
Lo único que nos permitió pasar de la forma general al estimador óptimo es la elección de \(W\)
Con esto obtenemos el estimador más eficiente
Usaremos los datos del estudio de Card (1995) sobre rendimientos a la educación para mostrar cómo funcionan las expresiones para estimar el vector de coeficientes y los errores estándar de los distintos estimadores de VI.
Card usa la proximidad a una institución de educación superior como instrumento de los años de educación acumulados.
Para tener una referencia, veamos lo que obtenemos con ivreg del paquete AER. Nuestro modelo tiene cinco regresores más una constante:
| (1) | |
|---|---|
| educ | 0.2214 |
| (0.0409) | |
| exper | 0.1439 |
| (0.0187) | |
| Num.Obs. | 3010 |
| R2 | -0.134 |
| R2 Adj. | -0.136 |
| AIC | 4043.8 |
| BIC | 4085.9 |
| RMSE | 0.47 |
Repliquemos lo anterior con matrices. Primero construimos \(X\), \(Y\) y \(Z\):
data.ingresos <- data.ingresos %>%
mutate(constant=1)
X <- data.matrix(select(data.ingresos, constant, educ, exper, expersq, black,
south),
rownames.force = T)
Y <- data.matrix(select(data.ingresos,lwage),
rownames.force = T)
Z <- data.matrix(select(data.ingresos, constant, nearc4, exper, expersq, black,
south),
rownames.force = T)
N <- nrow(X)
k <- ncol(X) # incluyendo la constanteEstimamos beta
La matriz de varianzas, asumiendo homocedasticidad:
Construimos la matriz de proyección
La matriz de varianzas que construye R por defecto multiplica por \(N/N-k\):
Comparamos el coeficiente y el de educación con lo obtenido con ivreg:
Si permitimos una heterocedasticidad arbitraria:
| Clásicos | HC0 | HC3 (default) | |
|---|---|---|---|
| educ | 0.2214 | 0.2214 | 0.2214 |
| (0.0409) | (0.0403) | (0.0404) | |
| exper | 0.1439 | 0.1439 | 0.1439 |
| (0.0187) | (0.0185) | (0.0186) | |
| Num.Obs. | 3010 | 3010 | 3010 |
Repliquemos esto con matrices, obteniendo primero la matriz \(D\), que colecciona los errores ajustados, y luego la matriz \(S\):
Noten que HC0 no hace corrección por muestras pequeñas:
Comparamos:
| Clásicos | HC0 | HC3 (default) | |
|---|---|---|---|
| educ | 0.2214 | 0.2214 | 0.2214 |
| (0.0409) | (0.0403) | (0.0404) | |
| exper | 0.1439 | 0.1439 | 0.1439 |
| (0.0187) | (0.0185) | (0.0186) | |
| Num.Obs. | 3010 | 3010 | 3010 |
Consideremos ahora el modelo sobreidentificado con dos instrumentos:
Construyamos la nueva matriz de instrumentos y la nueva matriz de proyección para obtener el vector de coeficientes:
Z <- data.matrix(select(data.ingresos, constant, nearc4, nearc2, exper, expersq, black,
south),
rownames.force = T)
P <- Z%*%(solve(t(Z)%*%Z))%*%t(Z)
b <- solve(t(X)%*%P%*%X) %*% t(X)%*%P%*%Y
b lwage
constant 1.998075910
educ 0.240315358
exper 0.151707063
expersq -0.002409864
black -0.018284247
south -0.080744611La matriz de varianzas se estima igual que en el caso exactamente identificado:
Noten que R hace correción de muestras finitas:
Comparamos:
Para estimar por el MGM usaremos la librería gmm y la función del mismo nombre. La opción vcov indica que queremos una matriz robusta a heterocedasticidad y wmatrix especifica el estimador óptimo, es decir, donde \(W=S^{-1}\).
Repliquemos esto con matrices. Obtenemos el vector de parámetros con alguna matriz subóptima, por ejemplo, la identidad:
Usemos este vector de parámetros para estimar \(\hat{S}\):
Y volvamos a estimar el vector de parámetros, ahora usando \(W=\hat{S}^{-1}\):
Con este vector de parámetros, obtenemos la matriz de varianzas:
Comparamos:
Usemos gmm para estimar el modelo exactamente identificado, usando diferentes matrices \(W\):
gmm_iv_opt <- gmm(lwage ~ educ + exper + expersq + black + south,
~ nearc4 + exper + expersq + black + south,
vcov = "iid",
wmatrix = "optimal",
type = "twoStep",
data = data.ingresos)
gmm_iv_ident <- gmm(lwage ~ educ + exper + expersq + black + south,
~ nearc4 + exper + expersq + black + south,
vcov = "iid",
wmatrix = "ident",
type = "twoStep",
data = data.ingresos)
modelsummary(list("Mátriz óptima"=gmm_iv_opt,"Identidad"= gmm_iv_ident),
output="gt",
coef_map = c("educ", "exper"),
gof_map = c("nobs"),
fmt = 4)| Mátriz óptima | Identidad | |
|---|---|---|
| educ | 0.2214 | 0.2214 |
| (0.0409) | (0.0409) | |
| exper | 0.1439 | 0.1439 |
| (0.0187) | (0.0187) | |
| Num.Obs. | 3010 | 3010 |
Regresamos a la matriz \(Z\) con un solo instrumento y estimamos el vector de parámetros:
Estimamos el vector de coeficientes:
El estimador de VI es el estimador de GMM para cualquier matriz \(W\) cuando \(r=q\):
En general, las pruebas que comparan dos estimadores distintos se conocen como pruebas de Hausman, Wu-Hausman o Durbin-Wu-Hausman
Consideremos dos estimadores \(\tilde{\theta}\) y \(\hat{\theta}\) que tienen la misma probabilidad límite bajo la \(H_0\) pero que difieren bajo la \(H_a\)
\[ \begin{aligned} H_0:\quad\quad p\lim(\tilde{\theta}-\hat{\theta})=0 \\ H_a:\quad\quad p\lim(\tilde{\theta}-\hat{\theta})\neq 0 \\ \end{aligned} \]
\[H=(\tilde{\theta}-\hat{\theta})'(\hat{V}(\tilde{\theta}-\hat{\theta}))^{-1}(\tilde{\theta}-\hat{\theta})\stackrel{a}{\sim}\chi^2(q)\]
Se rechaza la \(H_0\) si \(H>\chi^2_{\alpha}(q)\)
La implementación es un poco complicada dado que
\[\hat{V}(\tilde{\theta}-\hat{\theta})=\hat{V}(\tilde{\theta})-\hat{V}(\hat{\theta})-2cov(\tilde{\theta},\hat{\theta})\]
Con errores homocedásticos, el estimador de MCO es eficiente
En ese caso, se puede mostrar que
\[H_{h}=(\tilde{\theta}-\hat{\theta})'(\hat{V}(\tilde{\theta})-\hat{V}(\hat{\theta}))^{-1}(\tilde{\theta}-\hat{\theta})\stackrel{a}{\sim}\chi^2(q)\] que es fácil de calcular en el software
Si no estamos dispuestos a asumir homocedasticidad, se requiere estimar \(cov(\tilde{\theta},\hat{\theta})\), que se implementa en R y otros paquetes
La prueba de Hausman puede usarse para comparar dos estimadores, uno más eficiente que otro
La estimación de la prueba robusta puede complicarse en algunas aplicaciones, aunque como prueba de endogeneidad casi todo está disponible como funciones en R y otros paquetes
Una forma equivalente de realizar el test de Hausman es con una regresión auxiliar
Consideremos el siguiente modelo:
\[y=x_1\beta_1 + x_2\beta_2 + u\] con \(x_1\) endógna y \(x_2\) exógena
\[y=x_1\gamma_21 + x_2\gamma_2 +\hat{v} \gamma_3+ \varepsilon\] donde \(\hat{v}=x_1-\hat{x}_1\) y \(\hat{x}_1\) son los valores ajustados de la primera etapa
\[x_1 = z\pi_1 + x_2\pi + v\] donde \(z\) es un instrumento válido
Si \(x_1\) está correlacionado con \(u\) en la ecuación estructural entonces \(\nu\) también lo está
Es decir, \(u=v\gamma_3 + \varepsilon\)
Planteamos la hipótesis nula de que \(\gamma_3=0\)
Si rechazamos la hipótesis nula, concluimos que hay correlación entre \(x_1\) y \(u\)
También conocida como prueba de Hansen, quien propuso la forma general de la prueba, o prueba de Sargan, quien propuso la forma particular para el modelo lineal de VI
Es una prueba sobre qué tan cerca está de cumplirse la hipótesis nula de que \(E(h(w,\theta_0))=0\)
Hansen (1982) define el estadístico de prueba como
\[J=\left(\frac{1}{N}\sum_i \hat{h}_i\right)'\hat{S}^{-1}\left(\frac{1}{N}\sum_i \hat{h}_i\right)\stackrel{a}{\sim}\chi^2(r-q)\]
El estadístico \(J\) es la función objetivo de MGM evaluada en \(\hat{\theta}_{MGM}\)
Si el estadístico es grande en magnitud, rechazamos la hipótesis de que las condiciones de momentos poblacionales se cumplen y se concluye que el estimador de MGM es inconsistente
\[J=\hat{u}'Z\hat{S}^{-1}Z'\hat{u}\] donde \(\hat{u}=y-X'\hat{\beta}_{MGM}\)
Si se rechaza \(H_0\), hay evidencia de que los instrumentos \(z\) son endógenos (aunque también podría ser que haya una mala especificación del modelo)
Rechazar la \(H0\) indica que debemos replantear el modelo, aunque no nos dice cómo
Discusión intuitiva en Angrist & Pischke (MHE, 2009)
El estimador de MCO tiene las propiedades de ser consistente e insesgado
En cambio, el estimador de MC2E, aunque consistente, es sesgado
Esto tiene importantes consecuencias para la estimación y la inferencia
Consideremos el modelo simple con un solo regresor endógeno \(y=\beta x+ \eta\)
Supongamos que tenemos una matriz de instrumentos \(Z\), por lo que la primera etapa es:
\[x=Z\pi+\xi\]
\[\hat{\beta}_{MC2E}=\beta+(x'P_Z x)^{-1}x'P_Z\eta\]
\[\hat{\beta}_{MC2E}-\beta=(x'P_z x)^{-1}\pi'Z'\eta+(x'P_z x)^{-1}\xi'P_z\eta=sesgo_{Mc2E}\]
No podemos calcular directamente el sesgo pues el operador esperanza es un operador lineal
Angrist & Pischke (2009) aproximan el sesgo como.
\[E(\hat{\beta}_{MC2E}-\beta)\approx(E(x'P_z x))^{-1}E(\pi'Z'\eta)+(E(x'P_z x))^{-1}\xi'P_z\eta\]
\[E(\hat{\beta}_{MC2E}-\beta)\approx\frac{\sigma_{\eta\xi}}{\sigma_{xi}^2}\frac{1}{F+1}\]
donde \(\frac{\sigma_{\eta \xi}}{\sigma_{xi}^2}\) es el sesgo del estimador de MCO
Cuando \(\pi=0\), el sesgo de MC2E es el mismo que el de MCO
Es decir, cuando \(F\) es pequeña, el sesgo de MC2E se acerca al sesgo de MCO: el estimador de MC2E está sesgado hacia el de MCO cuando la primera etapa es débil
Staiger & Stock (1997) mostraron con simulaciones que cuando \(F>10\), el sesgo máximo en el estimador de MC2E es de 10%
De aquí viene la regla de dedo frecuentemente usada para juzgar instrumentos débiles
Reportar la primera etapa y ver si los coeficientes tienen sentido económico
Reportar el estadístico \(F\) de la primera etapa para los instrumentos excluidos
Reportar los resultados usando un modelo exactamente identificado usando el mejor instrumento
Poner atención a la forma reducida, recordando que la forma reducida es proporcional al efecto causal de interés
“Si no puedes ver la relación causal de interés en la forma reducida es porque probablemente no haya nada ahí.”
— Angrist & Krueger (2001)