Diseños con discontinuidades

Irvin Rojas

Diseños con discontinuidades

¿Qué pasa en el cumpleaños 21?

  • ¿Efecto fiesta?

  • Hay una tendendencia a la baja a ambos lados de la discotinuidad

  • Sin embargo, hay un claro salto en el número de muertes a los 21 años

Discontinuidades nítidas

Discontinuidades nítidas

  • \(D_a\) es el estado del tratamiento

\[ D_a = \begin{cases} 1 & \text{si } a \geq 21 \\ 0 & \text{si } a < 21 \end{cases} \]

  • \(a\) es conocida como running variable, score, variable de selección, variable de asignación, etc.

  • El tratamiento es una función determinística de \(a\)

    • Si conocemos \(a\) entonces conocemos \(D_a\)

  • El tratamiento es discontinuo sobre \(a\)

    • No importa qué tanto nos acercamos al corte, el estatus de tratamiento es el mismo hasta \(a\)

Discontinuidades níticas y regresión

  • Muchas cosas cambian con la edad

  • Riesgo de enfermedades, muerte por otras causas

  • Usamos regresión para aislar los efectos de la regla

\[ \bar{M}_a=\alpha+\rho D_a + \gamma a + \epsilon_a \]

  • \(\bar{M}_a\) es la tasa de mortalidad en el mes \(a\)

  • \(\rho\) captura el salto en la mortalidad a los 21 años

  • \(\hat{\rho}=7.66\) : número de muertes adicionales a los 21 años

Diferencia con otros diseños

  • A diferencia de los métodos de regresión o pareamiento donde controlamos por un vector \(X\) y esperamos que el tratamiento sea aleatorio controlando por \(X\)

  • Aquí no hay valores de \(a\) para los que observemos individuos en ambos estados del tratamiento

  • La interpretación de la RD es en la vecindad de la discontinuidad

No linealidad vs discontinuidad

  • Estimar el modelo de RD cuando la relación entre \(E[Y|X]\) es como en el tercer panel nos llevaría a inferir un salto donde no existe

  • Al usar RD debemos asegurarnos que estamos identificando una discontinuidad

    • Modelar la no linearidad (enfoque antiguo)

    • Concentrarnos solo en una ventana cercana a \(a_0\) (enfoque más moderno)

No linealidades

  • Podemos usar polinomios de \(a\)

  • Idealmente, las conclusiones no deberían cambiar de acuerdo al grado del polinomio usado

  • El consejo es intentar varias especificaciones y no solo la que se ajuste más a nuestras expectativas de los resultados

  • La Figura 4.2 parece tener una leve curvatura a la derecha de \(a\)

  • Podemos ajustar directamente un polinomio de la edad:

\[ \bar{M}_a=\alpha+\rho D_a + \gamma_1 a + \gamma_2 a^2 + \epsilon_a \]

No linealidades

  • O podemos espcificar un coeficiente diferente para \(a\) antes y después de \(a_0\):

\[ \bar{M}_a=\alpha+\rho D_a + \gamma(a-a_0) + \delta[(a-a_0)D_a] + \epsilon_a \]

  • Notemos que en este caso el efecto del tratamiento es:

\[ \rho+\delta(a-a_0) \]

  • Es decir, un efecto que depende de la distancia con \(a_0\)

  • Sin embargo, ¿qué tan válido es evaluar el efecto en, digamos, \(a=30\)? ¿O en \(a=10\)?

No linealidades

  • Podemos emplear una combinación de no linearidades y cambios en pendiente:

\[ \begin{aligned} \bar{M}_a&=\alpha+\rho D_a + \gamma_1(a-a_0) +\gamma_2(a-a_0)^2+\delta_1[(a-a_0)D_a]+ \delta_2[(a-a_0)^2D_a] + \epsilon_a \end{aligned} \]

  • En esta especificación los términos lineal y cuadrático cambian en \(a_0\)

  • Y el efecto del tratamiento en este caso es:

  • Notemos que en este caso el efecto del tratamiento es:

\[ \rho+\delta_1(a-a_0)+\delta_2(a-a_0)^2 \]

  • En los dos casos anteriores, regularmente se interpreta solo a \(\rho\) como el efecto del tratamiento

No linealidades

  • \(\hat{\rho}=9.55\)

  • Modelo más elaborado con mejor ajuste

  • Es evidente gráficamente que hay un salto a los 21 años y una caída suave después

  • ¿Qué tan robustos son los resultados?

knitr::include_graphics("alcohol_sharp_flexible.png",
                        dpi = 10)

Efectos estimados

knitr::include_graphics("RDestimates.png",
                        dpi = 10)

Fuente: Angrist & Pischke (2014)

Efectos estimados

knitr::include_graphics("alcohol_sharp_flexible_otheroutcomes.png")

Fuente: Angrist & Pischke (2014)

Ejemplo: Transferencias gubernamentales y apoyo político

Transferencias gubernamentales y apoyo político

  • Manacorda, M., E. Miguel y A. Vigorito (2011), Government Transfers and Political Support

  • ¿Los programas gubernamentales generan lealtades?

  • Programa Nacional de Emergencia Social (PANES) basado en un índice de pobreza

  • Existe una discontinudad en el acceso al programa

Contexto

  • ¿Qué pasó en Uruguay?

  • Crisis económica a inicios de los 2000

  • En abril de 2005 el Frente Amplio toma el poder

  • Expansión del gasto público contra la pobreza (0.41% del PIB)

  • PANES

    • Ingreso ciudadano: US$70

    • Otros componentes: alimenticio, empleo, salud, etc.

    • Alcanzó al 10% de los hogares y 14% de la población

Regla de asignación

  • ¿Cómo se decidió quién recibiría el PANES?

  • Focalizado a los más pobres

  • Modelo probit de ingreso ajustado

  • El ingreso observado puede ser un indicador muy ruidoso

  • Se asignó el programa solo a aquellos por debajo de un umbral de ingreso ajustado

Datos

  • Se recolectó información de los hogares alrededor de la discontinuidad (tratados y no tratados)

  • Se realizaron dos rondas de seguimiento en 2006-07 y en 2008

  • Variable de interés: apoyo político al gobierno en turno

¿Cómo medir el apoyo político?

  • Construcción de un índice del 0 al 1

  • Los hogares que reciben PANES tenían un apoyo político cercano a 0.90

  • Los no elegibles mostraban un apoyo de 0.77

  • Esto implica un incremento de 13 puntos porcentuales

Evidencia gráfica

knitr::include_graphics("PANES_effect2007.png")

Fuente: Manacorda et al. (2011)

Resultados de regresión

  • \(E\) es el umbral de elegibilidad de PANES

  • \(N_i=S_i-E\) es el score normalizado

\[ y_i=\beta_0+\beta_1 \mathcal{I}(N_i<0) + f_1(N_i) + \mathcal{I}f_2(N_i)+u_i \]

  • \(\beta_1\) captura el impacto del programa

Efectos estimados

knitr::include_graphics("PANES_regressionresults.png")

Fuente: Manacorda et al. (2011)

Evidencia gráfica en 2008

knitr::include_graphics("PANES_effect2008.png")

Fuente: Manacorda et al. (2011)

Robustez

knitr::include_graphics("PANES_validation.png")

Fuente: Manacorda et al. (2011)

Discontinuidades nítidas: resumen

  • RD nítida se usa cuando el tratamiento es una función determinística de una variable \(x\)

\[ D_i = \begin{cases} 1 & \mbox{if } x_i \geq x_0 \\ 0 & \mbox{if } x_i < x_0 \end{cases} \]

  • \(x_0\) es el umbral o corte

  • \(D_i\) es una función determinística de \(x_i\) pues una vez que conocemos \(x_i\) entonces conocemos \(D_i\)

  • \(D_i\) es una función discontinua en \(x_i\) pues no importa que tanto nos acerquemos por la izquierda o por la derecha a \(x_0\), el estado del tratamiento no cambia

Discontinuidades nítidas: resumen

  • A diferencia de los modelos de regresión o de pareamiento, no hay valor de \(x_i\) en el que observemos a individuos tratados y no tratados

  • La interpretación del efecto estimado por RD es un efecto local en la vecindad de \(x_0\), donde podemos tener confianza que los individuos tratados y no tratados son similares en todas las dimensiones excepto en su posición respecto a \(x_0\)

  • Una especificación flexible permite no confundir una discontinuidad con una no linealidad

  • En la práctica, el polinomio de \(x_i\) puede ser tan complejo como se desee pero se espera que los resultados no sean muy sensibles a especificaciones de este

  • El método no paramétrico consiste en la estimación de \(\rho\) en vecindades cada vez más pequeñas alrededor de \(x_0\)