La ilusión de la élite
Escuelas de élite, exam schools, altamente competitivas en Nueva York y Boston
Bajas tasas de admisión
¿Cómo diferenciar el valor agregado de la escuela del hecho de que la acta selectividad hace que a estas escuelas asistan solo los alumnos más brillantes?
¡Ojalá pudiéramos asignar alumnos al azar!
Los estudiantes en estas escuelas de élite comparten clases con estudiantes aventajados
La regla de asignación
Cada escuela tiene un corte de puntaje de admisión
En la escuela más competitiva de Boston aquellos estudiantes debajo del corte nunca asisten a dicha escuela
Los que están arriba del corte casi siempre acaban en la BLS
La regla de asignación
- Sin embargo, aquellos que no alcanzan el puntaje mínimo de la BLS acaban de cualquier forma en una escuela de élite
La regla de asignación
Hay una dimensión que genera una discontinuidad: efectos de pares o peer effects
Es una de las preocupaciones más importantes de política educativa en casi cualquier país
Tener buenos (malos) compañeros afecta los resultados del individuo \(i\)
Quienes ingresan a la BLS (séptimo grado) tuvieron compañeros con mejor desempeño en matemáticas cuando iban en cuarto grado
Modelo de efectos de pares
- Un modelo de efectos de pares:
\[Y_i=\theta_0+\theta_1\bar{X}_{(i)}+\theta_2 X_i + u_i\]
\(Y_i\) es el resultado de un examen de matemáticas en el séptimo año del individuo \(i\)
\(X_i\) es el resultado de un examen de matemáticas en el cuarto año del individuo \(i\)
\(\bar{X}_{(i)}\) es el resultado promedio de un examen de matemáticas en el cuarto año de los compañeros de \(i\) sin incluir \(i\)
Otra notación en la literatura escribe esto como \(\bar{X}_{(-i)}\)
Los resultados están estandarizados por lo que los coeficientes se interpretan en términos de desviaciones estándar: \(\hat{\theta}_1=0.25\sigma\)
RD difuso + VI
Problemas
Sabemos que en la discontinuidad, la calidad de los pares cambia drásticamente
Características de los hogares (habilidad de los padres)
Doble causalidad: \(i\) afecta a \(j\) pero \(j\) afecta a \(i\) a la vez
Modelo de VI
\[Y_i=\alpha_2+\lambda \bar{X}_{(i)} + \beta_2 R_i + \epsilon_{2i}\]
\[\bar{X}_{(i)}=\alpha_1 + \phi D_i + \beta_1 R_i + \epsilon_{1i}\]
En la primera etapa \(\hat{\phi}=0.80\sigma\), como lo habíamos visto ya en la Figura 4.8
En la segunda etapa \(\hat{\lambda}=-0.023\), \((s.e.=0.13)\)
Modelo de VI
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La ilusión
No hay tal ganancia por compartir clase con alumnos brillantes
La gente sigue percibiendo que sus hijos ganan al ir a escuelas de élite
Posiblemente los egresados de estas escuelas tengan mayores ingresos
Las ganancias que se puedan obtener no son vía el efecto de pares o un mejor rendimiento cognitivo
RD difusa: resumen
RD difusa explota discontinuidades en la probabilidad o valor esperado del tratamiento condicional en una variable
El resultado es que la discontinuidad se convierte en una VI para el estado del tratamiento en vez de una variable que se prende y apaga
\[
P(D_i =1|x_i)=
\begin{cases}
g_1(x_i) & \mbox{if } x_i \geq x_0 \\
g_0(x_i) & \mbox{if } x_i < x_0
\end{cases}
\]
Las funciones \(g_0\) u \(g_1\) difieren en \(x_0\)
Supongamos que \(g_1(x_0)>g_0(x_0)\), es decir, \(x_i\geq x_0\) hace el tratamiento más probable
RD difusa: resumen
- La relación entre el estado de tratamiento y \(x_i\) puede ser escrita como:
\[E(D_i|x_i)=P(D_i=1|x_i)=g_0(x_i)+[g_1(x_i)-g_0(x_i)]T_i\]
con \(T_i=\mathcal{I}(x_i\geq x_0)\)
- Escribiendo las funciones \(g_0\) y \(g_1\) como polinomios flexibles de \(x_i\)
\[E(D_i|x_i)=\gamma_{00}+\gamma_{01}x_i+\gamma_{02}x_i+\ldots+\gamma_{0p}x_i^p +\pi T_i + \gamma_{1}^{*}x_i T_i+ \gamma_{2}^{*}x_i^2 T_i+\ldots+ \gamma_{p}^{*}x_i^p T_i\]
RD difusa: resumen
En la primera etapa podríamos usar \(\{x_iTi, x_i^2 T_i,...,x_i^p T_i\}\) como instrumentos para \(D_i\)
Una primera etapa con interacciones sugeriría emplear una segunda etapa también con interacciones
La versión más simple solo usa \(T_i\) como instrumento
La primera etapa será
\[D_i=\gamma_0+\gamma_1 x_i + \gamma_2 x_i^2 + \ldots + \gamma_p x_i^p + \rho T_i + \xi_{i}\]
- La forma reducida o ITT de este modelo es:
\[y_i=\beta_0+\beta_1 x_i + \beta_2 x_i^2 + \ldots + \beta_p x_i^p + \delta\ T_i + u_{i}\] - Mientras que la ecuación estructural
\[y_i=\pi_0+\pi_1 x_i + \pi_2 x_i^2 + \ldots + \pi_p x_i^p + \lambda\ D_i + u_{i}\] se estima por MC2E usando \(T_i\) como instrumento de \(D_i\)
Discontinuidades nítidas
- Motivamos el uso de una regresión con el siguiente modelo
\[
D_i =
\begin{cases}
1 & \mbox{si } x_i \geq c_0 \\
0 & \mbox{si } x_i < c_0
\end{cases}
\]
- Si asumimos efectos de tratamiento constantes
\[
y_i^0=\alpha + \beta x_i \\
y_i^1= y_i^0 + \delta
\]
Discontinuidades nítidas
- Con nuestro modelo de resultados contrafactuales
\[
\begin{align}
y_i &= y_i^0 + (y_i^1 - y_i^0)D_i \\
y_i &= \alpha + \beta x_i + (\alpha + \beta x_i + \delta - \alpha - \beta x_i)D_i \\
y_i &= \alpha + \beta x_i + \delta D_i + \varepsilon_i
\end{align}
\]
- Formalmente, el efecto del tratamiento es
\[
\delta = \lim_{x_i\to c_o} E(y_i^1|x_i = c_0) - \lim_{x_i\leftarrow c_o} E(y_i^0|x_i = c_0)
\] - Pero como solo usamos la información en la vecindad del corte de elegibilidad, podemos definir el efecto como
\[
\delta^{RD,N} = E(y_i^1 - y_i^0 | x_i=c_0)
\]
Discontinuidades nítidas
El efecto estimado es un efecto local en sentido de que nuestras conclusiones son válidas solo en la vecindad alrededor de \(c_0\)
A diferencia de otros diseños, aquí no hay traslape
Recurrimos a la extrapolación
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Supuesto de identificación
Continuidad
\(E(y_i^0)\) y \(E(y_i^1)\) son funciones suaves y continuas de \(x_i\) en el corte \(c_0\)
En ausencia del tratamiento, los resultados potenciales no saltan
Esto implica que no debe haber otras interacciones o variables imitidas que salten en \(c_0\)
En el ejemplo del acceso a alcohol, debemos descartar que no hay otros factores (como enfermedades) que se disparen a los 21 años
Estimación
Se acostumbra construir la versión centrada de la variable de asignación: \(x_i-c_0\)
Para permitir no linealidades en \(x_i\), podríamos pensar que podemos especificar polinomios de alto grado
Esta es una mala idea, como lo muestran Andew & Imbens (20219), “Why Higher-Order Polynomial Shpuld Not Be Used in Regression Discontinuity Designs”
Estimación
\[
\begin{align}
y_i^*&=\alpha + \beta (x_i-c_0) + \delta D_i + \varepsilon_i \\
& = \alpha + \beta x_i - \beta c_0 + \delta D_i + \varepsilon_i \\
& = \alpha^* + \beta x_i + \delta D_i + \varepsilon_i
\end{align}
\] con \(\alpha^*=\alpha-\beta c_0\)
- Es decir, solo se modifica la ordenada al origen en la regresión
Estimación
- Permitimos pendientes distintas antes y despues de \(c_0\)
\[
\begin{align}
E(y_i^0|x_i)&=\alpha + \beta_{01} \tilde{x}_i \\
E(y_i^1|x_i)&=\alpha + \delta + \beta_{11} \tilde{x}_i
\end{align}
\]
- Usando la ecuación de resultados potenciales
\[
\begin{align}
E(y_i|x_i)=\alpha + \beta_{01} \tilde{x}_i + (\alpha + \delta + \beta_{11} \tilde{x}_i-\alpha - \beta_{01} \tilde{x}_i) D_i
\end{align}
\]
- Dando lugar a la regresión
\[
y_i = \alpha + \beta_{01} \tilde{x}_i + \delta D_i + \beta_1^*\tilde{x}_i D_i+ \varepsilon_i
\] donde \(\beta_1^*=\beta_{11}-\beta_{01}\)
Esto es, una regresión de \(y_i\) en \(D_i\), \(\tilde{x}_i\) y la interacción \(\tilde{x}_i D_i\)
Interpretamos \(\delta\) como el salto en la función o el efecto causal
Con un polinomio de segundo orden tendríamos
\[
y_i = \alpha + \beta_{01} \tilde{x}_i + \beta_{02} \tilde{x}_i + \delta D_i + \beta_1^*\tilde{x}_i D_i+ \beta_2^*\tilde{x}_i^2 D_i+ \varepsilon_i
\]
Estimación no paramétrica
Muchos autores cuestionan la estimación paramétrica que hemos tratado hasta ahora pues el sesgo puede ser sustancial
En muchas aplicaciones se prefiere usar una regresión lineal no paramétrica
Es una regresión restringida a una ventana, con pesos para cada valor de \(E(y|x)\)
Consiste en estimar
\[\hat{a}, \hat{b} = \arg \min_{a,b}\sum_{i=1}^n(y_i-a-b(x_i-c_0))^2K\left(\frac{x_-c_0}{h}\right)1(x_i\geq 0)\]
Y lo mismo para \(x_i<c_0\)
El parámetro \(h\) indica el ancho de banda, escogido mediante técnicas de optimización
Consiste en estimar una regresión centrada en cada valor de \(x_i\) para obtener una predicción de \(E(y_i| X_i=x_i)\)
Estimación no paramétrica
Usamos observaciones a la izquierda y a la derecha de \(x_i\)
Se les otorga un peso de acuerdo con la función \(K(\cdot)\)
Son métodos computacionalmente intensivos
En la práctica, el paquete rdrobust elige el \(h\) óptimo, estima la regresión local (con un kernel triangular por default) y un polinomio del orden especificado
Discontinuidades difusas
- Tenemos un diseño difuso cuando hay un salto en la probabilidad de ser asignado al tratamiento
\[
\begin{align}
\lim_{x_i\rightarrow c_0} P(D_i=1|x_i=c_0) \neq \lim_{c_0 \leftarrow x_i} P(D_i=1|x_i=c_0) \\
\end{align}
\]
La probabilidad de recibir el tratamiento es discontinua en \(c_0\)
El supuesto de identificación es igual que en el caso nítido, que los resultados potenciales son funciones continuas y suaves en \(c_0\)
Recurrimos a variables instrumentales
Ser asignado al tratamiento se vuelve un instrumento para recibir el tratamiento
\[
P(D_i=1|x_i) =
\begin{cases}
g_1(x_i) & \mbox{si } x_i \geq c_0 \\
g_0(x_i) & \mbox{si } x_i < c_0
\end{cases}
\]
Discontinuidades difusas
- Tenemos entonces una primera etapa
\[
D_i = \gamma_0 + \gamma_1 x_i + \gamma_2 x_i^2 + \rho T_i + \varepsilon_i
\]
donde
\[
T_i =
\begin{cases}
1 & \mbox{si } x_i \geq c_0 \\
0 & \mbox{si } x_i < c_0
\end{cases}
\]
Discontinuidades difusas
\[
y_i = \beta_0 + \beta_1 x_i + \beta_2 x_i^2 + \delta T_i + u_i
\]
- Y la ecuación estructural es
\[
y_i = \pi_0 + \pi_1 x_i + \pi_2 x_i^2 + \lambda D_i + \nu_i
\] - En términos de código, hacemos lo mismo que en los diseños nítidos
Últimos consejos
Hacer estudios placebo cuando sea posible: probar la especificación principal en variables que no deberían verse afectadas por el tratamiento
Mostrar que no haya discontinuidades alrededor del corte
Verificar que otras covariables sean continuas alrededor del corte
