LATE y variables instrumentales

Inferencia Causal

Irvin Rojas

rojasirvin.com

Cumplimiento no perfecto

¿Fracasó el experimento?

  • Frecuentemente nos encontraremos con intervenciones donde la aleatorización ocurre de manera íntegra, pero no todos aquellos asignados a cierto tratamiento efectivamente lo reciben

  • Nos tomaremos en serio la diferencia entre ser asignado al tratamiento y recibir el tratamiento

    • Al evaluar un programa que asigna aleatoriamente a niños a escuelas de prestigio, nos interesa el efecto de efectivamente asistir a dichas escuelas y, quizás no tanto, el efecto de haber sido sorteado para asistir a dichas escuelas

¿Fracasó el experimento?

  • Usaremos un estimador de variables instrumentales (VI) para relacionar los efectos de la asignación con los efectos de la adopción

  • Llegaremos al siguiente resultado:

\[\text{Efecto de la asignación en } Y=(\text{Efecto de la asignación en la adopción})\times (\text{Efecto de la adopción en }Y)\]

  • Por tanto:

\[\text{Efecto de la adopción en }Y=\frac{\text{Efecto de la asignación en }Y}{\text{Efecto de las asignación en la adopción}}\]

  • Ahora derivaremos formalmente este resultado, pero la intución es importante: el efecto causal de la adopción es el efecto de la asignación, escalado por el efecto de la asignación en la adopción

Efectos causales con cumplimiento imperfecto

Identificación de efectos causales usando VI

  • Angrist, Imbens & Rubin (1996)

  • Asignación: \(Z_i=\begin{cases} 1 \\0 \\ \end{cases}\)

  • Cumplimiento: \(D_i=\begin{cases} 1 \\0 \\ \end{cases}\)

  • \(Y_i\) variable de resultados

  • Nos importa el efecto de \(D_i\) sobre \(Y_i\)

Efectos causales y VI

  • \(D_i(Z)\) es el indicador de cumplir, dada la asignación \(Z\)

  • Con cumplimiento perfecto tendríamos \(D_i(Z)=Z_i\)

  • En general, hay asignados que no cumplen y no asignados que cumplen

  • \(Y_i(Z,D)\) es la variable de interés de \(i\)

  • \(Y_i(Z,D)\) y \(D_i(Z)\) son resultados potenciales

Supuestos

Supuesto 1: Stable Unit Treatment Value Assumption (SUTVA)

  • Este supuesto indica que los resultados potenciales de \(i\) no están correlacionados con los de los otros individuos

  • Por tanto podemos escribir \(Y_i(Z,D)=Y_i(Z_i,D_i)\) y \(D_i(Z)=D_i(Z_i)\)

Supuesto 2: asignación aleatoria

  • La asignación de \(Z_i\) es aleatoria, es decir, \(P(Z=C)=P(Z=C')\) para todo \(C\) y \(C'\)
  • Los supuestos 1 y 2 nos permiten identificar los efectos causales de \(Z\) en \(Y\) y de \(Z\) en \(D\) calculando diferencias de medias por grupos de \(Z\):
    • \(ITT_Y\) comparar las medias de \(y\) entre quienes \(Z=1\) y quienes \(Z=0\)
    • \(ITT_D\) comparar las medias de \(D\) entre quienes \(Z=1\) y quienes \(Z=0\)
  • \(ITT\) se conoce como intención a tratar o intention to treat

Parada para reflexionar

  • Hasta ahora el supuesto crítico es la asignación aleatoria de \(Z\)

  • \(D_i\) puede no serlo y, en general, no lo es

  • Por tanto, una comparación de \(y\) entre grupos de \(D\) es inapropiada

  • Necesitamos algunos supuestos para decir algo del efecto causal de \(D\) sobre \(Y\)

Más supuestos

Supuesto 3: restricción de exclusión

\[Y(Z,D)=Y(Z',D)\quad \forall \quad Z,Z',D\]

  • Este supuesto implica que podemos escribir:

\[Y_i(1,d)=Y_i(0,d) \quad d=\{0,1\}\]

  • Es decir, resuleve el problema contrafactual
  • Con el supuesto 3 podemos escribir: \[Y(D)=Y(Z,D)=Y(Z',D)\quad \forall \quad Z,Z',D\]
  • Y por el supuesto 1: \[Y_i(D_i)=Y_i(Z,D)\]

Más supuestos

Supuesto 4: el efecto causal promedio de \(Z\) sobre \(D\) es distinto de cero

  • Esto es, \(E(D_i(1)-D_i(0))\neq0\)

  • En otras palabras, la asignación tiene efecto sobre el cumplimiento

Supuesto 5: monotonicidad \[D_i(1)\geq D_i(0) \quad \forall\quad i=1,\ldots N\]

  • Este supuesto simplemente dice que no hay un individuo que:

    • Cuando se le asigna, no cumple
    • Cuando no se le asigna, cumple

  • Noten que este supuesto se debe pensar en términos contrafactuales

  • A un individuo que no cumple cuando se le asigna y cumple cuando no se le asigna se le conoce como retador o defier

Variable instrumental

  • \(Z\) es una variable instrumental para el efecto causal de \(D\) sobre \(Y\) si se cumplen los supuestos 1 al 5

Interpretación del estimador de VI

  • Comencemos escribiendo el efecto causal de \(Z\) en \(Y\), que por el supuesto de exclusión de \(Z\) es:

\[ \begin{aligned} Y_i(1,D_i(1))-Y_i(0,D_i(0))=\underbrace{Y_i(D_i(1))-Y_i(D_i(0))}_{A} \\ \end{aligned} \]

  • Notemos que el lado derecho, \(A\), puede calcularse siguiendo la notación de resultados potenciales: \[ \begin{aligned} Y(D)&=Y(0)+D(Z)(Y(1)-Y(0)) \\ D(Z)&=D(0)+Z(D(1)-D(0))\\ \end{aligned} \]
  • Sustituyendo \(D\) en \(Y\): \[ \begin{aligned} Y(D(Z))&=Y(0)+(D(0)+Z(D(1)-D(0)))(Y(1)-Y(0)) \\ &=Y(0)D(0)(Y(1)-Y(0))+Z(D(1)-D(0))(Y(1)-Y(0)) \end{aligned} \]

Interpretación del estimador de VI

  • Podemos evaluar entonces los dos valores de \(Z\) y obtener:

\[ \begin{aligned} Y(D(1))&=Y(0)+D(1)(Y(1)-Y(0)) \\ Y(D(0))&=Y(0)+D(0)(Y(1))-Y(0) \\ \end{aligned} \]

  • Y entonces: \[ \begin{aligned} A&=Y_i(D_i(1))-Y_i(D_i(0)) \\ &=(Y_i(1)-Y_i(0))(D_i(1)-D_i(0))\\ \end{aligned} \]
  • Es decir, el efecto causal de \(Z\) sobre \(Y\) para \(i\) es el producto del efecto causal de \(D\) sobre \(Y\) y del efecto causal de \(Z\) sobre \(D\):

\[ \underbrace{Y_i(1,D_i(1))-Y_i(0,D_i(0))}_B=(Y_i(1)-Y_i(0))(D_i(1)-D_i(0)) \]

Interpretación causal del estimador de VI

  • Consideremos ahora \(B\) y obtengamos el valor esperado:

\[ \begin{aligned} E(Y_i(1,D_i(1))-Y_i(0,D_i(0)))&=E(Y_i(1)-Y_i(0))(D_i(1)-D_i(0))\\ &=E(Y_i(1)-Y_i(0)|D_i(1)-D_i(0)=1)P(D_i(1)-D_i(0)=1)\\ &+E(Y_i(1)-Y_i(0)|D_i(1)-D_i(0)=0)P(D_i(1)-D_i(0)=0)\\ &+E(Y_i(1)-Y_i(0)|D_i(1)-D_i(0)=-1)P(D_i(1)-D_i(0)=-1)\\ \end{aligned} \]

  • La intuición de este valor esperado es obtener el efecto en la variable de interés bajo los distintos posibles efectos de \(Z\) sobre \(D\)
  • El segundo término de la suma es cero y corresponde a aquellos para quienes la asignación no modificó el cumplimento, por lo que \(E(Y_i(1)-Y_i(0)|D_i(1)-D_i(0)=0)=0\)
  • Usando el supuesto 5 de monotonicidad, sabemos \(D_i(1)-D_i(0)\) es igual a uno o cero, es decir, \(P(D_i(1)-D_i(0)=-1)=0\)

Interpretación causal del estimador de VI

  • Por tanto:

\[ \begin{aligned} E(Y_i(1,D_i(1))-Y_i(0,D_i(0)))=E(Y_i(1)-Y_i(0)|D_i(1)-D_i(0)=1)P(D_i(1)-D_i(0)=1) \end{aligned} \]

  • Es decir, el efecto causal promedio de \(Z\) sobre \(Y\) es igual al producto del efecto causal promedio de \(D\) sobre \(Y\) en aquellos individuos que cuando se les asigna cumplen y cuando no se les asigna no cumplen, \(D_i(0)=0\) y \(D_i(1)=1\), y la proporción de estos individuos en la población

Interpretación causal del estimador de VI

Proposición 1 en Angrist, Imbens & Rubin (1996): interpretación causal del estimador de VI

  • Si los supuestos 1 a 5 se cumplen, el estimador de VI es:

\[E(Y_i(1)-Y_i(0)|D_i(1)-D_i(0)=1)=\frac{E(Y_i(D_i(1),1))-Y_i(D_i(0),0)}{E(D_i(1)-D_i(0)}=\lambda_{LATE}\]

  • Angrist y coautores llaman a este parámetro el efecto local promedio del tratamiento o LATE

  • El LATE es el efecto causal promedio del tratamiento en un conjunto de individuos cuyo estatus de tratamiento puede ser modificado por la asignación aleatoria

  • A estos individuos se les conoce como cumplidores o compliers

Tipos de individuos

  • Hay cuatro tipos de individuos:
Tipos de individuos
\(D_i(0)=0\) \(D_i(0)=1\)
\(D_i(1)=0\) \(Y_i(1,0)-Y_i(0,0)=0\) \(Y_i(1,0)-Y_i(0,1)=-(Y_i(1)-Y_i(0))\)
Nunca cumplidor Retador
\(D_i(1)=1\) \(Y_i(1,1)-Y_i(0,0)=Y_i(1)-Y_i(0)\) \(Y_i(1,1)-Y_i(0,1)=0\)
Cumplidor Siempre adoptador
Nota:
Adaptado de la tabla 1 en Angrist, Imbens & Rubin (1996).

Tipos de individuos

  • Los cumplidores cumplen con el tratamiento si se les asigna y no lo cumplen si no se les asigna

  • \(Z\) es independiente de \(D\) para los nunca cumplidores y los siempre adoptadores y el efecto causal es 0 para ambos

  • Los retadores hacen lo contrario a lo que les es asignado

    • El supuesto de monotonicidad descarta la existencia de retadores para la identificación del LATE
    • En la práctica, esperamos que sean pocos tal que podamos ignorarlos

  • A la suma de nunca cumplidores, siempre adoptadores y retadores se le conoce como no cumplidores

LATE y TT

  • En general el LATE y el TT (TOT o ATET) difieren

  • Pero recordemos que \(TT=E(y_{1i}-y_{0i}|D_i=1)\)

  • Noten que en el conjunto con \(D_i=1\) se encuentran los cumplidores y los siempre adoptadores

  • Si podemos asegurar que no hay siempre adoptadores, el LATE y el TT son iguales

Resumiendo

  • Hemos mostrado que el efecto promedio de \(Z\) sobre \(Y\) es proporcional al efecto de \(D\) sobre \(Y\) para los cumplidores

  • Por el supuesto 4, sabemos que la proporción de cumplidores es igual al efecto de \(Z\) sobre \(D\)

  • Dado que \(Z\) se asigna aleatoriamente, podemos estimar los dos ITT por separado para obtener \(\lambda=\frac{ITT_Y}{ITT_D}\)

  • En la práctica de evaluación recurrimos a la econometría con variables instrumentales

Variables instrumentales y LATE

Terminología

  • Primera etapa: es el efecto causal de la asignación sobre el cumplimento

\[\phi=E(D_i|Z_i=1)-E(D_i|Z_i=0)\]

  • Forma reducida: es la diferencia en \(y\) entre grupos de asignación

\[\rho=E(y_i|Z_i=1)-E(y_i|Z_i=0)\]

  • LATE: es la diferencia en \(y\) entre a quienes se les asigna el tratamiento y quienes no, dividida por la diferencia en cumplimiento entre a quienes se les asigna el tratamiento y quienes no

\[\lambda_{LATE}=\frac{\rho}{\phi}\]

Variables instrumentales en investigación criminológica

  • Angrist (2006) estudia un experimento bastante particular: aleatorizar la respuesta policíaca

  • ¿En qué consistió la intervención?

  • \(y_i\): tasa de reincidencia en conductas de violencia doméstica
  • \(Z_i=\begin{cases} 1\quad \text{si apercibido} \\ 0\quad \text{otro caso}\ \end{cases}\)
  • Se muestra como el ITT puede no reflejar la efectividad de la intervención debido al efecto de dilusión provocado, en este caso, por desviaciones con respecto a la forma de enfrentar un episodio policíaco

Diferencias en las respuestas efectivas

Tratamiento asignado y recibido en casos de violencia doméstica
Tramiento recibido:
Arrestado Apercibido
Tratamiento asignado: Total
Arrestar 98.91 (91) 1.09 (1) 29.3 (92)
Apercibir 20.27 (45) 79.73 (177) 70.7 (222)
Total 43.1 (136) 56.69 (178) 100 (314)
Nota: Adaptado de la tabla 1 en Angrist (2006).

  • En el estudio original, lo que llamamos apercibir tuvo en realidad dos componentes: aconsejar y separar, pero para facilitar el análisis usaremos solo arrestar por un lado y apercibir por el otro

  • ¿Qué observamos sobre a las desviaciones con respecto al tratamiento asignado?

Diferencias en las respuestas efectivas

  • Noten que cuando el tratamiento asignado era arrestar, efectivamente se arrestó al 98.91% de los individuos

  • En cambio, noten que 20.27 % de los 222 asignados a ser apercibidos fueron en efecto arrestados

  • ¿Cómo ocurre el sesgo de selección en este caso?

Sesgo de selección

  • Algunos individuos se comportaron violentos, por lo que fueron arrestados a pesar de ser asignados a apercibimiento

  • Por tanto, si comparamos \(y\) entre aquellos individuos apercibidos y no apercibidos, no tomamos en cuenta que aquellos no apercibidos (por tanto, arrestados) pudieran ser más violentos, sobrestimando el efecto de la política de apercibimiento

LATE

  • La primera etapa es el efecto causal en la probabilidad de recibir el tratamiento de apercibimiento por el hecho de haber sido asignado a ese tratamiento: \(E(D_i|Z_i=1)-E(D_i|Z_i=0)=0.797-0.011=0.786\)

  • La forma reducida es el efecto causal de la asignación al tratamiento sobre la tasa de reincidencia: \(E(y_i|Z_i=1)-E(y_i|Z_i=0)=0.211-0.097=0.114\)

  • El ITT ignora el hecho de que algunos asignados a apercibimiento fueron arrestados
  • Sabemos que el LATE está dado por \(\lambda_{LATE}=\frac{ITT_y}{ITT_D}=\frac{0.114}{0.786}=0.145\)
  • Los datos de los autores reportan que si nos fijáramos solo en las diferencias por tipo de tratamiento obtendríamos, \(E(y_i|D_i=1)-E(y_i|D_i=0)=0.216-0.129=0.087\), es decir, casi la mitad del LATE
  • Pero como \(D\) no es aleatoria, dicha comparación no es correcta

La econometría del LATE

Motivación con un estadístico de Wald

  • Pensemos en un modelo con efectos constantes de tratamiento: \(y_{1i}-y_{0i}=\lambda\)

  • La variable de resultados está determinada por \(y_{0i}=\alpha+\varepsilon_i\), donde \(\alpha=E(y_{0i})\)

  • Entonces, el modelo de resultados potenciales es:

\[y_i=\alpha+\lambda D_i+\varepsilon_i\]

  • Si \(D_i\) no es independiente de \(y_{0i}\), es decir, \(y_{0i}\) no es independiente del error, entonces una diferencia de medias entre grupos de \(D\) no produce un estimador consistente de \(\lambda\)

Motivación con un estadístico de Wald

  • Ahora supongamos que tenemos un instrumento \(z_i\) tal que \(z_i\perp y_i\), es decir, \(E(\varepsilon_i|z_i)=0\)
  • Evaluemos la esperanza de \(y_i\) cuando \(z_i=1\) y cuando \(z_i=0\): \[ \begin{aligned} E(y_i|z_i=1)&=\alpha+\lambda E(D_i| z_i=1) \\ E(y_i|z_i=0)&=\alpha+\lambda E(D_i| z_i=0) \\ \end{aligned} \]
  • Restando: \[E(y_i|z_i=1)-E(y_i|z_i=0)=\lambda(E(D_i| z_i=1)-E(D_i| z_i=0))\]
  • Y despejando obtenemos \[\lambda=\frac{E(y_i|z_i=1)-E(y_i|z_i=0)}{E(D_i| z_i=1)-E(D_i| z_i=0)}\] que es conocido como un estadístico de Wald

Mínimos cuadrados en dos etapas (MC2E)

  • En la práctica, podemos plantear un modelo econométrico en dos etapas:

  • Modelo estructural

\[y_i=X_i'\beta+\lambda D_i+\varepsilon_i\]

  • Primera etapa

\[D_i=X_i'\phi_0+\phi_1z_i+\eta_i\] donde \(\phi_i\) es el efecto causal de la asignación sobre el cumplimiento - Cuado \(D_i\) y \(z_i\) son ambas dicotómicas, \(\phi_1\) da la proporción de la población que son cumplidores

Mínimos cuadrados en dos etapas (MC2E)

  • Podemos concebir el problema como uno en el que primero se estima la primera etapa y se sustituyen los valores ajustados de \(D_i\) en el modelo estructural
  • Sustituyendo la primera etapa en el modelo estructural \[y_i=X_i'\beta+\lambda \hat{D}_i+\varepsilon_i\]
  • Esta es la forma de pensar el procedimiento, pero en la práctica nunca hacemos esto manualmente
    • Noten que \(\hat{D}_i\) es estimada, por lo cual se ignora la variabilidad muestral de la primera etapa y los errores estándar serían inconsistentes
  • Nota: el estimador de Wald es igual al estimador de MC2E cuando no hay \(X\) y cuando \(Z\) y \(D\) son binarias

Mínimos cuadrados en dos etapas (MC2E)

  • Forma reducida

\[ \begin{aligned} y_i&=X_i'\beta+\lambda(X_i'\phi_0+\phi_1z_1+\eta_i)+\varepsilon_i \\ &=X_i'\rho_0+\rho_1z_i+\nu_i \end{aligned} \] donde \(\rho_1=\lambda\phi_1\) es el coeficiente de forma reducida sobre la variable de asignación

  • Noten que esto implica que \(\lambda=\rho_1/\phi_1\)
  • Es decir, \(\lambda_{MC2E}\) puede interpretarse como la versión reescalada del coeficiente de forma reducida usando el efecto causal de la primera etapa para reescalar

Efectos estimados

  • Regresando a los resultados del experimento, ahora con econometría

Primera etapa

  • Versión corta:

\[apercibido_i=\phi_0+\phi_1T_i+\eta_i\]

  • Con controles: \[apercibido_i=\phi_0+\phi_1T_i+X_i'\Phi +\eta_i\]
  • Noten que el 0.786 es exactamente lo que se encontraba al hacer las diferencias de medias

Forma reducida

  • También conocido como ITT

\[reincidencia_i=\rho_0+\rho_1T_i+\nu_i\]

Efectos estimados

Primera etapa y forma reducida
Primera etapa
Forma reducida
Variable dep.: fue apercibido
Variable dep.: reincidencia
(1) (2)* (3) (4)*
Asignado a ser apercibido (\(T\)) 0.786 (0.043) 0.733 (0.043) 0.114 (0.047) 0.108 (0.041)
Arma -0.064 (0.045) -0.004 (0.042)
Influencia químicos -0.088 (0.040) 0.052 (0.038)
Media variable dep. 0.567 0.567 0.178 0.178
Nota: Tabla 2 en Angrist (2006). * Indica que se incluyen como variables de control indicadoras para año, trimestre, raza no blanca y raza mixta.

  • Habíamos obtenido antes la columna (1), pero como una diferencia de medias: \(E(D_i|Z_i=1)-E(D_i|Z_i=0)=0.797-0.011=0.786\)

  • Mientras que también habíamos encontrado (3): \(E(y_i|Z_i=1)-E(y_i|Z_i=0)=0.211-0.097=0.0.114\)

Efectos estimados

Efecto del tratamiento

  • Noten que con nuestro estimador de MC2E obtenemos exactamente lo que antes habíamos calculado como \(\lambda_{LATE}=\frac{ITT_y}{ITT_D}=\frac{E(y_i|Z_i=1)-E(y_i|Z_i=0)}{E(D_i|Z_i=1)-E(D_i|Z_i=0)}=0.145\)

  • Vean que al estimar la ecuación estructural por MCO obtenemos un coeficiente cercano a 0.070

  • Más aún, sabemos que el coeficiente de MCO es inconsistente

Efectos estimados

Impactos de ser apercibido en la reincidencia (MCO y LATE)
MCO
VI/MC2E
Variable dep.: reincidencia
(1) (2)* (3) (4)*
Apercibido 0.087 (0.044) 0.070 (0.038) 0.145 (0.060) 0.140 (0.053)
Arma 0.010 (0.043) 0.005 (0.043)
Influencia químicos 0.057 (0.039) 0.064 (0.039)
Nota: Tabla 3 en Angrist (2006). * Indica que se incluyen como variables de control indicadoras para año, trimestre, raza no blanca y raza mixta.

  • Usando el estimador de MC2E obtenemos exactamente lo que antes habíamos calculado como \(\lambda_{LATE}=\frac{ITT_y}{ITT_D}=\frac{E(y_i|Z_i=1)-E(y_i|Z_i=0)}{E(D_i|Z_i=1)-E(D_i|Z_i=0)}=0.145\)

  • Al estimar la ecuación estructural por MCO obtenemos un coeficiente cercano a 0.070

  • Pero sabemos que el coeficiente de MCO es inconsistente

LATE es igual ATET en este caso

  • Noten que este estudio tiene lo que se conoce como no cumplidores de un solo lado
Tipos de individuos
\(D_i(0)=0\) \(D_i(0)=1\)
\(D_i(1)=0\) \(Y_i(1,0)-Y_i(0,0)=0\) \(Y_i(1,0)-Y_i(0,1)=-(Y_i(1)-Y_i(0))\)
Nunca cumplidor Retador
\(D_i(1)=1\) \(Y_i(1,1)-Y_i(0,0)=Y_i(1)-Y_i(0)\) \(Y_i(1,1)-Y_i(0,1)=0\)
Cumplidor Siempre adoptador
Nota:
Adaptado de la tabla 1 en Angrist, Imbens & Rubin (1996).

  • Cuando la asignación es apercibir, en el 20.27% de los casos la acción fue arrestar y en el 79.73% efectivamente fue apercibir

  • En cambio, cuando se indica no apercibir, es decir, arrestar, la adopción es casi perfecto (salvo un caso)

  • En otras palabras, en este caso no hay siempre cumplidores
  • No hay individuos que hayan sido apercibidos independientemente de la asignación

LATE es igual ATET en este caso

  • Recordemos que el grupo de quienes reciben el tratamiento está compuesto de los cumplidores y los siempre adoptadores
  • En este caso en particular: \[\lambda_{LATE}=E(y_{1i}-y_{0i}|C_i=1)=E(y_{1i}-y_{0i}|D_i=1)=ATET\]
  • Esto ocurre en los casos en que:
    • Algunos de los asignados al tratamiento, \(z_i=1\) lo reciben mientras otros no
    • Nadie de los asignados al control, \(z_i=0\) tiene acceso al tratamiento

Material de clase en versión preliminar.

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