Motivación
Hasta ahora hemos usado situaciones en las que varios individuos resultan tratados y varios resultan no ser tratados
Los métodos no experimentales nos permiten identificar el efecto de un tratamiento por medio de supuestos
Tratamos de aproximar una situación experimental
Los estudios de evento ocurren cuando una política o programa se lleva a cabo a nivel agregado y afecta a unas pocas (a veces una) unidades
Partimos del concepto de DID
Consideremos un modelo simple de diferencia en diferencias
Observamos una unidad tratada y una que nunca lo fue antes y después del tratamiento
Bajo ciertos supuestos, el estimador de DID es el efecto del tratamiento
La implementación consiste en comparar la unidad tratada con una o varias no tratadas
¿Cuál es el efecto de la inmigración en los mercados laborales?
Card (1990) empleó datos a nivel individual sobre salarios y empleo en el área metropolitana de Miami y los comparó con el promedio de otras cuatro ciudades con proporciones similares de hispanos y negros
Al comparar las tendencias en empleo y salarios con las de este conjunto de ciudades Card concluye que la llegada de inmigrantes no tuvo ningún efecto negativo
Los marieles
![]()
Los marieles
¿Cuál es el efecto de la inmigración en los mercados laborales?
Card (1990) empleó datos a nivel individual sobre salarios y empleo en el área metropolitana de Miami y los comparó con el promedio de otras cuatro ciudades con proporciones similares de hispanos y negros
Se compara a Miami con el promedio de Atlanta, Houston, Los Angeles y Tampa
Los marieles
![]()
Fuente: Card (1990)
Los marieles
![]()
Fuente: Card (1990)
Los marieles
Al comparar las tendencias en empleo y salarios con las de este conjunto de ciudades Card concluye que la llegada de inmigrantes no tuvo ningún efecto negativo
Tampoco encuentran evidencia de que la distribución de ingresos de los no cubanos se hubiera hecho más desigual
Tampoco hubo efectos concentrados en los grupos menos educados
Se concluye que Miami tuvo la capacidad para absorber el choque de oferta de trabajo sin efectos en el resto del empleo
Crítica a DID
¿Cómo escogemos las unidades de comparación?
¿Cómo podemos saber qué tan buena es la unidad de comparación como contrafactual para reproducir lo que le hubiera pasado a la unidad tratada de no haber recibido el tratamiento?
Extender DID sistemáticamente
El CS permite estudiar sistemáticamente estudios de eventos
En otras ciencias sociales los estudios de eventos regularmente se realizan mediante un análisis detallado de las condiciones institucionales, políticas e históricas de la unidad tratada
El CS nos permite seleccionar sistemáticamente las unidades de comparación
Con las características de las unidades no tratadas se construye una unidad sintética que se emplea para compararla con la unidad tratada y medir el efecto del tratamiento
Se trata de crear una unidad sintética que representa a la unidad tratada como si no hubiera recibido el tratamiento
¿Lo único que podemos hacer son estudios cualitativos?
![]()
Extensión sistemática de los estudios de evento
El control sintético permite estudiar sistemáticamente estudios de eventos.
En otras ciencias sociales los estudios de eventos regularmente se realizan mediante un análisis detallado de las condiciones institucionales, políticas e históricas de la unidad tratada.
El control sintético nos permite seleccionar sistemáticamente las unidades de comparación.
Con las características de las unidades no tratadas, el control sintético construye una unidad sintética que se emplea para compararla con la unidad tratada y medir el efecto del tratamiento.
El método consiste en construir una unidad sintética que representa a la unidad tratada como si no hubiera recibido el tratamiento.
El modelo
Consideremos \(J+1\) unidades, siendo \({2,...,J+1}\) las no tratadas, mientras que \(t=1,...,T\) denota el tiempo.
Asumimos que en \(T_0\) ocurre una intervención que solo afecta a \(1\).
Consideremos los resultados contrafactuales \(Y_{it}^I\) para un individuo intervenido, mientras que \(Y_{it}^N\) para uno no intervenido.
Asumimos que antes de la intervención, ninguna unidad fue afectada, por lo que \(Y_{it}^N=Y_{it}^I \quad \forall i,t < T_0\).
El efecto del tratamiento en es:
\[\alpha_1=\left(\alpha_{1T_0+1},..., \alpha_{1T}\right)\]
con \(t\geq T_0\) y \(\alpha_{1t}=Y_{1t}^I-Y_{1t}^N\)
Proceso generador de datos
- Consideremos un modelo bastante general para la variable de interés (modelo de factores):
\[Y_{it}^N=\delta_t+\theta_t Z_i + \lambda_t\mu_i+\varepsilon_{it}\]
\(Z_i\) son variables no afectadas por la intervención
\(\theta_t\) es un vector de parámetros (que varía en el tiempo)
\(\delta_t\) son factores comúnes desconocidos (efectos temporales en un modelo de panel)
\(\mu_i\) es un vector de factores no observados (unknown loadings)
\(\lambda_t\) son factores comúnes no observables
Control sintético
Consideremos un vector de pesos \(W=\left(w_2,...,w_{J+1}\right)\), con \(w_j \geq 0 \quad \forall j\geq 2\)
Los pesos están normalizados tales que \(w_2+\ldots+w_{J+1}=1\)
Cada vector \(W\) diferente representa un potencial control sintético, es decir, un promedio ponderado de las unidades no tratadas
La variable de resultados para un control sintético (definido por \(W\)) es:
\[
\begin{aligned}
Y_{Wt}^N&=\sum_{j=2}^{J+1} w_j Y_{jt}= \\
&=\delta_t+\theta_t \left(\sum_{j=2}^{J+1} w_j Z_j\right) + \lambda_t \left(\sum_{j=2}^{J+1} w_j \mu_j \right) + \left(\sum_{j=2}^{J+1} w_j\varepsilon_{jt} \right)
\end{aligned}
\]
Control sintético
Hay una infinidad de CS, pues hay una infinidad de maneras de asignar los pesos a las unidades no tratadas
Supongamos que existe una matriz \(W^*\) tal que el control sintético replica la unidad tratada antes de la intervención
\[\sum_{j=2}^{J+1} w^*_j Z_j=Z_1\]
- El control sintético replica la variable de resultados pre-intervención:
\[\sum_{j=2}^{J+1} w^*_j Y_{jt}=Y_{1t} \quad \forall t\in{1,...,T_0}\]
Control sintético
Abadie, Diamond y Hainmueller (2010) dan las condiciones bajo las que el sesgo del control sintético queda acotado
Una de estas condiciones es tener suficientes periodos pre intervención.
Por tanto, el efecto del tratamiento puede estimarse como:
\[\hat{\alpha}_{1t}=Y_{1t}-\sum_{j=2}^{J+1} w^*_j Y_{jt}=Y_{1t}-Y_{W^*t}\] para \(t\in \{T_0+1,\ldots,T\}\).
Estimación
Necesitamos datos de panel pre y post intervención para la variable dependiente
Además de algunos puntos pre intervención para las variables \(Z\)
Requerimos suficientes periodos pre intervención para asegurarnos que el control sintético replica bien a la unidad tratada antes de la intervención
Definamos \(X_1=(Z_1',\tilde{Y}_1^{K_1},\ldots,\tilde{Y}_1^{K_M})\) el vector que colecciona las características de la unidad tratada preintervención
Estimación
En el vector \(X_1\) permitimos que haya \(M\) combinaciones lineales de la variable de resultados pre-intervención
Por ejemplo, una combinación lineal de la variable de resultados pre-intervención es:
\[\tilde{Y}_i^K=\sum_{s=1}^{T_0}k_sY_{is},\quad\quad K=(k_1,\ldots,k_{T_0})'\]
es decir, podemos incluir el valor de la variable de resultados en algunos años pre intervención o el promedio de todos los años pre intervención
Definimos lo análogo, pero para las unidades no tratadas, como la matrix \(X_0\)
Definimos \(X_1-X_0W\) como una medida de discrepancia entre \(X_1\) y \(X_0W\)
Estimación
- Planteamos entonces una función objetivo para minimizar las discrepancias:
\[\min_{W\in\mathcal{W}}(X_1-X_0W)V'(X_1-X_0W)\]
donde \(V\) es una matriz positiva definida
La solución a este problema de optimización es \(W^*(V)\), que depende de \(V\). \(V\) es un vector de pesos que refleja la importancia relativa de las variables en \(X_1\) y \(X_0\)
Siguiendo a Abadie & Gardeazabal (2003), podemos realizar un proceso que minimice la distancia entre el valor observado de la variable de resultados y el el contrafactual definido por \(W^*(V)\)
Estimación
Definamos \(\mathcal{Y_1}\) como el vector de variables de resultados en la unidad tratada para los periodos pre intervención y \(\mathcal{Y_0}\) a la matriz de las mismas variables para los no tratados
Podemos encontrar la \(V\) óptima como la solución a:
\[V^*=\arg\min_{V\in\mathcal{V}}(\mathcal{Y}_1-\mathcal{Y}_0W^*(V))'(\mathcal{Y}_1-\mathcal{Y}_0W^*(V))\]
- Por lo tanto, los pesos para el control sintético estarán dados por \(W^*(V^*)\).
