Diseños con discontinuidades

Inferencia Causal

Irvin Rojas

Centro de Investigación y Docencia Económicas
Maestría en Economía

Diseños con discontinuidades

Motivación: edad legal para tomar en EU

En Estados Unidos la edad legal para tomar es de 21 años
Claramente no podemos realizar un experimento para estudiar esta relación causal
En DID vimos una aproximación al explotar la variación geográfica y temporal del cambio en las leyes de acceso al alcohol
Otra manera de aproximar el problema es explotar la discontinuidad en el acceso legal al alcohol justo a los 21 años

Motivación: edad legal para tomar en EU

Algo pasa en el cumpleaños 21
¿Podemos pensar que es el efecto fiesta?
Hay una tendencia a la baja a ambos lados de la discontinuidad
Sin embargo, hay un claro salto en la tasa de mortalidad a los 21 años

Discontinuidades nítidas

$D_a$ indica el estatus de tratamiento

\[ D_a = \begin{cases} 1 & \text{si } a \geq 21 \\ 0 & \text{si } a < 21 \end{cases} \]

$a$ es conocida como running variable, score, variable de selección, variable de asignación, etc.
Llamamos corte o umbral al valor $a_0=21$
El tratamiento es una función determinística de $a$
- Si conocemos $a$ entonces conocemos $D_a$
El tratamiento es discontinuo en $a_0$
- No importa qué tanto nos acerquemos al corte, el estatus de tratamiento no cambia hasta cruzar $a_0$

Discontinuidades nítidas y regresión

Muchas cosas cambian con la edad
Riesgo de enfermedades, muerte por otras causas
Usamos regresión para aislar los efectos de la regla

\[ \bar{M}_a=\alpha+\rho D_a + \gamma a + \varepsilon_a \]

$\bar{M}_a$ es la tasa de mortalidad (por cada 100 mil habitantes) a la edad $a$, medida en meses
$\rho$ captura el salto en la mortalidad a los 21 años
$\hat{\rho}=7.66$ son muertes adicionales por cada 100 mil habitantes a los 21 años

Diferencias respecto a otros diseños

En los diseños experimentales generamos grupos estadísticamente similares en una serie de características $X$ y que difieren solo en el estatus de tratamiento
En los métodos de regresión y de matching, controlamos por un vector $X$ y requerimos que haya soporte común, es decir, que haya individuos tratados y no tratados para cada valor de $X$
En DID, para cada periodo de análisis post tratamiento, comparamos a los individuos tratados con algún grupo de comparación no tratado
En los diseños con discontinuidades no hay valores de $a$ para los que observemos individuos en ambos estados del tratamiento
De forma similar a los diseños experimentales con cumplimiento imperfecto, la interpretación de los efectos en los diseños con discontinuidades es la de un efecto local, en la vecindad de $a_0$

No linealidad vs discontinuidad

En los paneles A y B hay un salto en $E(y|a)$ en el corte, con una relación lineal y no lineal, respectivamente
En el panel C, $E(y|a)$ es continua pero muy pronunciada cerca de $a_0$, por lo que ajustar una recta a cada lado (líneas discontinuas) nos llevaría a inferir un salto donde no existe
Al usar un diseño con discontinuidad debemos asegurarnos de que estamos identificando una discontinuidad y no una no linealidad
- Modelar la no linealidad (enfoque original)
- Concentrarnos solo en una ventana cercana a $a_0$ con métodos no paramétricos (enfoque más moderno)

No linealidades

Podemos usar polinomios de $a$
Idealmente, las conclusiones no deberían cambiar de acuerdo con el grado del polinomio usado
La recomendación práctica es intentar varias especificaciones y no solo la que se ajuste más a nuestras expectativas de los resultados
La gráfica de mortalidad por edad parece tener una leve curvatura a la derecha de $a_0$
Podemos ajustar directamente un polinomio de la edad:

\[ \bar{M}_a=\alpha+\rho D_a + \gamma_1 a + \gamma_2 a^2 + \varepsilon_a \]

No linealidades

O podemos especificar una pendiente diferente para $a$ antes y después de $a_0$:

\[ \bar{M}_a=\alpha+\rho D_a + \gamma(a-a_0) + \kappa[(a-a_0)D_a] + \varepsilon_a \]

Notemos que en este caso el efecto del tratamiento es:

\[ \rho+\kappa(a-a_0) \]

Es decir, un efecto que depende de la distancia con $a_0$
Sin embargo, ¿qué tan válido es evaluar el efecto en, digamos, $a=30$? ¿O en $a=10$?

No linealidades

Podemos emplear una combinación de no linealidades y cambios en pendiente:

\[ \begin{aligned} \bar{M}_a&=\alpha+\rho D_a + \gamma_1(a-a_0) +\gamma_2(a-a_0)^2+\kappa_1[(a-a_0)D_a]+ \kappa_2[(a-a_0)^2D_a] + \varepsilon_a \end{aligned} \]

En esta especificación los términos lineal y cuadrático cambian en $a_0$
Notemos que en este caso el efecto del tratamiento es:

\[ \rho+\kappa_1(a-a_0)+\kappa_2(a-a_0)^2 \]

En los dos casos anteriores, regularmente se interpreta solo a $\rho$ como el efecto del tratamiento

No linealidades

Con el polinomio cuadrático interactuado, $\hat{\rho}=9.55$
Modelo más elaborado con mejor ajuste
Es evidente gráficamente que hay un salto a los 21 años y una caída suave después
¿Qué tan robustos son los resultados?

Efectos estimados

	Edades 19-22		Edades 20-21
Variable dependiente	(1)	(2)	(3)	(4)
Todas las muertes	7.66 (1.51)	9.55 (1.83)	9.75 (2.06)	9.61 (2.29)
Accidentes de vehículos de motor	4.53 (0.72)	4.66 (1.09)	4.76 (1.08)	5.89 (1.33)
Suicidio	1.79 (0.50)	1.81 (0.78)	1.72 (0.73)	1.30 (1.14)
Homicidio	0.10 (0.45)	0.20 (0.50)	0.16 (0.59)	-0.45 (0.93)
Otras causas externas	0.84 (0.42)	1.80 (0.56)	1.41 (0.59)	1.63 (0.75)
Todas las causas internas	0.39 (0.54)	1.07 (0.80)	1.69 (0.74)	1.25 (1.01)
Causas relacionadas con el alcohol	0.44 (0.21)	0.80 (0.32)	0.74 (0.33)	1.03 (0.41)
Controles	edad	edad, edad², interactuadas	edad	edad, edad², interactuadas
Tamaño de muestra	48	48	24	24
Nota: Coeficientes de un indicador de edad mayor o igual a 21 años en regresiones de la tasa de mortalidad por mes de edad, según causa. Los controles de edad se interactúan con el indicador de mayor de 21 en las columnas (2) y (4). Errores estándar entre paréntesis. Fuente: adaptado de la tabla 4.1 de Angrist & Pischke (2014), con datos de Carpenter & Dobkin (2009).

Efectos estimados

Ejemplo: transferencias gubernamentales y apoyo político

Transferencias gubernamentales y apoyo político

Manacorda, Miguel & Vigorito (2011), “Government Transfers and Political Support”, American Economic Journal: Applied Economics
¿Los programas gubernamentales generan lealtades?
Programa Nacional de Emergencia Social (PANES), focalizado con base en un índice de ingreso
Existe una discontinuidad en el acceso al programa

Contexto

¿Qué pasó en Uruguay?
Crisis económica a inicios de los 2000
En abril de 2005 el Frente Amplio toma el poder
Expansión del gasto público contra la pobreza (0.41% del PIB)
PANES
- Ingreso ciudadano: alrededor de US$70 mensuales
- Otros componentes: alimenticio, empleo, salud, etc.
- Alcanzó al 10% de los hogares y 14% de la población

Regla de asignación

¿Cómo se decidió quién recibiría el PANES?
Focalizado a los más pobres
Modelo probit de ingreso predicho
El ingreso observado puede ser un indicador muy ruidoso
Se asignó el programa solo a aquellos por debajo de un umbral de ingreso predicho

Datos

Se recolectó información de los hogares alrededor de la discontinuidad (tratados y no tratados)
Se realizaron dos rondas de seguimiento en 2006-07 y en 2008
Variable de interés: apoyo político al gobierno en turno
La figura muestra que la elegibilidad determina casi por completo la participación, es decir, el diseño es prácticamente nítido

¿Cómo medir el apoyo político?

Construcción de un índice del 0 al 1
Justo debajo del umbral, los hogares elegibles tenían un apoyo político cercano a 0.90
Justo arriba del umbral, los no elegibles mostraban un apoyo de 0.77
Esto implica un incremento de 13 puntos porcentuales

Evidencia gráfica en 2007

Resultados de regresión

$S_i$ es el score (ingreso predicho) del hogar $i$ y $E$ es el umbral de elegibilidad de PANES
$N_i=S_i-E$ es el score normalizado; los hogares con $N_i<0$ son elegibles

\[ y_i=\beta_0+\beta_1 \mathcal{I}(N_i<0) + f_1(N_i) + \mathcal{I}(N_i<0)f_2(N_i)+u_i \]

$f_1$ y $f_2$ son polinomios del score normalizado
$\beta_1$ captura el impacto del programa

Efectos estimados

		Coeficiente (error estándar)
Variable dependiente	Media no elegibles	(1)	(2)	(3)	(4)	(5)	(6)	Observaciones
Recibió PANES alguna vez, 2005-2007	0.004	0.993***	0.987***	0.995***	0.993***	0.988***	0.998***	2,232
		(0.002)	(0.005)	(0.005)	(0.003)	(0.005)	(0.005)
Apoyo al gobierno, 2007 (durante el programa)	0.77	0.129***	0.110***	0.130***	0.126***	0.103***	0.125***	2,089
		(0.013)	(0.026)	(0.040)	(0.014)	(0.027)	(0.043)
Apoyo al gobierno, 2008 (después del programa)	0.73	0.118***	0.100***	0.093**	0.119***	0.096***	0.081*	1,948
		(0.030)	(0.043)	(0.016)	(0.031)	(0.045)	(0.045)
Controles del score		Ninguno	Lineal	Cuadrático	Ninguno	Lineal	Cuadrático
Otros controles		No	No	No	Sí	Sí	Sí
Nota: Efecto de la elegibilidad a PANES (score por debajo del umbral) sobre la recepción del programa y el apoyo político. Las columnas (1) a (3) incluyen un polinomio de grado 0, 1 y 2 del score normalizado, interactuado con el indicador de elegibilidad; las columnas (4) a (6) agregan características previas al tratamiento. Errores estándar agrupados por score entre paréntesis. * p<0.01, p<0.05, * p<0.1. Fuente: adaptado de la tabla 1 de Manacorda, Miguel & Vigorito (2011).

Evidencia gráfica en 2008

Robustez

Si el diseño es válido, la elegibilidad no debería predecir las características de los hogares antes del programa (2005) ni la no respuesta en las encuestas de seguimiento

Variable dependiente	Media no elegibles	Coeficiente	Error estándar	Observaciones
Log del ingreso per cápita	6.34	-0.062	(0.059)	2,150
Años de educación promedio del hogar (16 años o más)	4.05	0.135	(0.198)	2,162
Tamaño del hogar	3.03	-0.350	(0.242)	2,232
Edad promedio del hogar	31.68	-1.195	(2.159)	2,232
Quien responde es mujer	0.70	-0.025	(0.057)	2,231
Años de educación de quien responde	6.43	0.228	(0.307)	2,206
Edad de quien responde	43.63	-0.929	(1.512)	2,231
No respuesta sobre apoyo político (2007)	0.41	0.037	(0.044)	2,372
No respuesta sobre apoyo político (2008)	0.46	0.049	(0.048)	2,372
Votó en las elecciones de 2004	0.92	0.013	(0.023)	2,200
Nota: Regresiones de características previas al programa en el indicador de elegibilidad, con la especificación de la columna (2) de la tabla anterior. Fuente: adaptado de la tabla 2 de Manacorda, Miguel & Vigorito (2011).

Estimación con discontinuidades nítidas

Discontinuidades nítidas

Generalizamos la notación del ejemplo del alcohol: $x_i$ es la variable de asignación, $c_0$ es el corte y $y_i$ es el resultado
Motivamos el uso de una regresión con el siguiente modelo

\[ D_i = \begin{cases} 1 & \text{si } x_i \geq c_0 \\ 0 & \text{si } x_i < c_0 \end{cases} \]

Si asumimos efectos de tratamiento constantes

\[ \begin{aligned} y_i^0&=\alpha + \beta x_i + \varepsilon_i \\ y_i^1&= y_i^0 + \delta \end{aligned} \]

Discontinuidades nítidas

Con nuestro modelo de resultados potenciales

\[ \begin{align*} y_i &= y_i^0 + (y_i^1 - y_i^0)D_i \\ &= \alpha + \beta x_i + \varepsilon_i + (\alpha + \beta x_i + \varepsilon_i + \delta - \alpha - \beta x_i - \varepsilon_i)D_i \\ &= \alpha + \beta x_i + \delta D_i + \varepsilon_i \end{align*} \]

Como solo usamos la información en la vecindad del corte de elegibilidad, definimos el efecto del tratamiento en el corte como

\[ \delta^{RD,N} = E(y_i^1 - y_i^0 | x_i=c_0) \]

Bajo el supuesto de continuidad, que formalizamos más adelante, este efecto se identifica con los límites laterales de lo que sí observamos

\[ \delta^{RD,N} = \lim_{x\downarrow c_0} E(y_i|x_i = x) - \lim_{x\uparrow c_0} E(y_i|x_i = x) \]

Discontinuidades nítidas

El efecto estimado es un efecto local, en el sentido de que nuestras conclusiones son válidas solo en la vecindad alrededor de $c_0$
A diferencia de otros diseños, aquí no hay traslape
Recurrimos a la extrapolación
Las líneas discontinuas son los resultados potenciales que no observamos, pero extrapolamos usando los puntos que sí observamos

Supuestos de identificación

Supuesto 1. Continuidad: $E(y_i^0|x_i)$ y $E(y_i^1|x_i)$ son funciones suaves y continuas de $x_i$ en el corte $c_0$

Los resultados potenciales no saltan en el corte
El único salto en $E(y_i|x_i)$ se debe al tratamiento
Esto implica que no debe haber otras intervenciones o variables omitidas que salten en $c_0$
En el ejemplo del acceso al alcohol, debemos descartar que haya otros factores (como enfermedades) que se disparen a los 21 años

Supuesto 2. SUTVA

Estimación paramétrica

Se acostumbra construir la versión centrada de la variable de asignación: $\tilde{x}_i=x_i-c_0$
Para permitir no linealidades en $x_i$, podríamos especificar polinomios de alto grado
Esta es una mala idea, como lo muestran Gelman & Imbens (2019), “Why High-Order Polynomials Should Not Be Used in Regression Discontinuity Designs”

Estimación paramétrica

A partir del modelo para $y_i$, donde $\alpha$ es la ordenada sin centrar:

\[ \begin{align} y_i&=\alpha + \beta x_i + \delta D_i + \varepsilon_i \\ & = \alpha + \beta c_0 + \beta (x_i - c_0) + \delta D_i + \varepsilon_i \\ & = \alpha^* + \beta \tilde{x}_i + \delta D_i + \varepsilon_i \end{align} \] con $\alpha^*=\alpha+\beta c_0$, la ordenada en el corte

Recentrar solo cambia la ordenada al origen mientras que $\beta$ y $\delta$ no cambian
En adelante, para simplificar, escribimos $\alpha$ para la ordenada en el corte

Estimación paramétrica

Permitimos pendientes distintas antes y después de $c_0$

\[ \begin{align} E(y_i^0|x_i)&=\alpha + \beta_{01} \tilde{x}_i \\ E(y_i^1|x_i)&=\alpha + \delta + \beta_{11} \tilde{x}_i \end{align} \]

con $\alpha=E(y_i^0|x_i=c_0)$

Usando la ecuación de resultados potenciales

\[ \begin{align} E(y_i|x_i)=\alpha + \beta_{01} \tilde{x}_i + (\alpha + \delta + \beta_{11} \tilde{x}_i-\alpha - \beta_{01} \tilde{x}_i) D_i \end{align} \]

Dando lugar a la regresión

\[ y_i = \alpha + \beta_{01} \tilde{x}_i + \delta D_i + \beta_1^*\tilde{x}_i D_i+ \varepsilon_i \] donde $\beta_1^*=\beta_{11}-\beta_{01}$

Estimación paramétrica

Esto es, una regresión de $y_i$ en $D_i$, $\tilde{x}_i$ y la interacción $\tilde{x}_i D_i$
Interpretamos $\delta$ como el salto en la función o el efecto causal
Con un polinomio de segundo orden tendríamos

\[ y_i = \alpha + \beta_{01} \tilde{x}_i + \beta_{02} \tilde{x}_i^2 + \delta D_i + \beta_1^*\tilde{x}_i D_i+ \beta_2^*\tilde{x}_i^2 D_i+ \varepsilon_i \] donde $\beta_{02}$ y $\beta_{12}$ son los coeficientes del término cuadrático antes y después de $c_0$, y $\beta_2^*=\beta_{12}-\beta_{02}$

Estimación no paramétrica

Muchos autores cuestionan la estimación paramétrica que hemos tratado hasta ahora pues el sesgo puede ser sustancial
En muchas aplicaciones se prefiere usar una regresión lineal local (no paramétrica)
Es una regresión restringida a una ventana alrededor del corte, con pesos que dependen de la distancia de cada observación a $c_0$
Consiste en estimar

\[\hat{a}_{+}, \hat{b}_{+} = \arg \min_{a,b}\sum_{i=1}^n(y_i-a-b(x_i-c_0))^2K\left(\frac{x_i-c_0}{h}\right)\mathcal{I}(x_i\geq c_0)\]

Y lo mismo para $x_i<c_0$, de donde obtenemos $\hat{a}_{-}$, para estimar $\hat{\delta}=\hat{a}_{+}-\hat{a}_{-}$
El parámetro $h$ indica el ancho de banda, que podemos escoger con criterios como minimizar el error cuadrático medio o validación cruzada

Estimación no paramétrica

En general, la regresión local se estima en cada valor $x$, pero en el diseño discontinuo solo nos interesa la predicción en $c_0$ por cada lado
Los pesos vienen de una función kernel $K(u)$, con $u=(x_i-c_0)/h$
Todos los kernels de la figura, salvo el gaussiano, dan peso cero fuera de $|u|\leq 1$
En la práctica, rdrobust elige el $h$ óptimo y estima la regresión local, con kernel triangular por defecto

Kernels en R

u <- seq(-1.5, 1.5, length.out = 601)
dentro <- as.numeric(abs(u) <= 1)

kernels <- tibble(
  u = u,
  Uniforme = 0.5 * dentro,
  Triangular = (1 - abs(u)) * dentro,
  Epanechnikov = 0.75 * (1 - u^2) * dentro,
  Gaussiano = dnorm(u)) |>
  pivot_longer(-u, names_to = "kernel", values_to = "K")

kernels |>
  ggplot(aes(u, K, color = kernel)) +
  geom_line(linewidth = 1.2) +
  labs(x = expression(u == (x[i] - c[0]) / h),
       y = "K(u)", color = "Kernel") +
  theme_minimal() +
  theme(legend.position = "bottom")

Últimos consejos

Hacer estudios placebo cuando sea posible: probar la especificación principal en variables que no deberían verse afectadas por el tratamiento
Mostrar que no haya una discontinuidad en la densidad de la variable de asignación en el corte, lo que sugeriría manipulación
- La prueba de densidad (McCrary, 2008) contrasta si la densidad de $x_i$ salta en $c_0$ (el paquete rddensity implementa la versión más reciente)
Verificar que otras covariables sean continuas alrededor del corte

Discontinuidades difusas

Tenemos un diseño difuso cuando hay un salto en la probabilidad de recibir el tratamiento

\[ \lim_{x\downarrow c_0} P(D_i=1|x_i=x) \neq \lim_{x\uparrow c_0} P(D_i=1|x_i=x) \]

La probabilidad de recibir el tratamiento es discontinua en $c_0$
Al igual que en el diseño nítido, para la identificación asumimos que los resultados potenciales son funciones continuas y suaves en $c_0$
Recurrimos además a los supuestos de variables instrumentales que revisamos más adelante
Ser asignado al tratamiento se vuelve un instrumento para recibir el tratamiento

\[ P(D_i=1|x_i) = \begin{cases} g_1(x_i) & \text{si } x_i \geq c_0 \\ g_0(x_i) & \text{si } x_i < c_0 \end{cases} \]

Las funciones $g_0$ y $g_1$ difieren en $c_0$

Discontinuidades difusas

Tenemos entonces una primera etapa, que define la relación entre la discontinuidad y la probabilidad de recibir el tratamiento

\[ D_i = \gamma_0 + \gamma_1 x_i + \rho T_i + \xi_i \]

donde

\[ T_i = \begin{cases} 1 & \text{si } x_i \geq c_0 \\ 0 & \text{si } x_i < c_0 \end{cases} \]

Discontinuidades difusas

La forma reducida presenta la relación entre la variable de resultados y la discontinuidad

\[ y_i = \beta_0 + \beta_1 x_i + \delta T_i + u_i \]

Y la ecuación estructural presenta la relación entre la adopción y la variable de resultados

\[ y_i = \pi_0 + \pi_1 x_i + \lambda D_i + \nu_i \]

La forma reducida es un diseño nítido con $T_i$ en lugar de $D_i$
$\delta$ es el salto de $y_i$ en el corte
El efecto del tratamiento es el cociente de los dos saltos, como en el estimador de Wald

\[ \lambda = \frac{\delta}{\rho} \]

La interpretación es un LATE para los cumplidores en el umbral, bajo los supuestos de VI que revisaremos más adelante

Estimación con discontinuidades difusas

Estimación paramétrica

La relación entre el estado de tratamiento y $x_i$ puede ser escrita como:

\[E(D_i|x_i)=P(D_i=1|x_i)=g_0(x_i)+[g_1(x_i)-g_0(x_i)]T_i\]

con $T_i=\mathcal{I}(x_i\geq c_0)$

Escribiendo las funciones $g_0$ y $g_1$ como polinomios flexibles de $x_i$
Como en el caso nítido, en las ecuaciones paramétricas siguientes, $x_i$ denota la variable de asignación centrada, $\tilde{x}_i = x_i - c_0$, de modo que $\rho$ es el salto en el corte

\[E(D_i|x_i)=\gamma_{00}+\gamma_{01}x_i+\gamma_{02}x_i^2+\ldots+\gamma_{0p}x_i^p +\rho T_i + \gamma_{1}^{*}x_i T_i+ \gamma_{2}^{*}x_i^2 T_i+\ldots+ \gamma_{p}^{*}x_i^p T_i\]

Estimación paramétrica

En la primera etapa podríamos usar $\{T_i,x_iT_i, x_i^2 T_i,...,x_i^p T_i\}$ como instrumentos para $D_i$
Una primera etapa con interacciones sugeriría emplear una segunda etapa también con interacciones
La versión sin interacciones solo usa $T_i$ como instrumento
La primera etapa será

\[D_i=\gamma_0+\gamma_1 x_i + \gamma_2 x_i^2 + \ldots + \gamma_p x_i^p + \rho T_i + \xi_{i}\]

Estimación paramétrica

La forma reducida o ITT de este modelo es:

\[y_i=\beta_0+\beta_1 x_i + \beta_2 x_i^2 + \ldots + \beta_p x_i^p + \delta\ T_i + u_{i}\]

Mientras que la ecuación estructural

\[y_i=\pi_0+\pi_1 x_i + \pi_2 x_i^2 + \ldots + \pi_p x_i^p + \lambda\ D_i + \nu_{i}\]

Podemos estimar la ecuación estructural con un estimador de VI usando $T_i$ (y sus interacciones) como instrumento de $D_i$ (y sus interacciones)

Estimación no paramétrica

La práctica más usada actualmente sigue el enfoque no paramétrico en dos discontinuidades para obtener:

\[ \lambda^{RD,D} = \frac{\lim_{x\downarrow c_0} E(y_i|x_i=x) - \lim_{x\uparrow c_0} E(y_i|x_i=x)}{\lim_{x\downarrow c_0} E(D_i|x_i=x) - \lim_{x\uparrow c_0} E(D_i|x_i=x)} \]

rdrobust estima el numerador y el denominador por separado, usando regresión local no paramétrica
Se elige un ancho de banda y un tipo de kernel para ambas regresiones
$h$ se escoge de forma que se minimice el MSE del cociente
La inferencia toma en cuenta el sesgo de suavizamiento

VI nuevamente en acción

Todo lo que se conoce sobre VI es aplicable en este contexto
La exogeneidad se argumenta por la asignación como si fuera aleatoria que origina la discontinuidad
La exclusión implica que cruzar el corte afecta a $y_i$ solo a través de $D_i$ (no debe haber otras intervenciones que usen el mismo corte)
La relevancia requiere que la discontinuidad genere diferencias en la probabilidad de adopción (supuesto que se debe probar)
Se asume monotonicidad: cruzar el corte no hace que nadie deje de recibir el tratamiento

\[ D_i(1) \geq D_i(0) \quad \text{para todo } i \text{ cerca de } c_0 \] donde $D_i(1)$ y $D_i(0)$ son el estado de tratamiento de $i$ si $T_i=1$ y si $T_i=0$

Puede haber un problema de instrumentos débiles, por ejemplo si el salto en la primera etapa es pequeño (por lo que $\lambda=\delta/\rho$ se vuelve inestable)

Últimos consejos

Reportar la primera etapa y la forma reducida, con sus correspondientes gráficos
Evitar polinomios globales de grado alto (Gelman & Imbens, 2019) y, si se reportan, que sea como ejercicio de robustez junto a la estimación local
Mostrar que el resultado no depende del ancho de banda y reportar la estimación con el $h$ óptimo y con valores alrededor de este (por ejemplo, $h/2$ y $2h$)
Reportar el número efectivo de observaciones a cada lado del corte
Realizar las pruebas recomendadas para el caso nítido

Manipulación, sesgo e inferencia

Prueba de densidad de McCrary (2008)

Si los individuos conocen el corte y pueden manipular su $x_i$, se acumulan del lado de $c_0$ que más les beneficie y los resultados potenciales pueden dejar de ser continuos en el corte
Esta manipulación puede manifestarse como un salto en la densidad $f(x)$ de $x_i$ en $c_0$
McCrary (2008) propone probar $H_0: \theta=0$, con

\[ \theta = \ln \lim_{x\downarrow c_0} f(x) - \ln \lim_{x\uparrow c_0} f(x) = \ln f^{+} - \ln f^{-} \]

Construir un histograma de $x_i$, con intervalos que no crucen $c_0$
A cada lado del corte, estimar una regresión lineal local de las frecuencias en los puntos medios de los intervalos para obtener $\hat{f}^{+}$ y $\hat{f}^{-}$
Calcular $\hat{\theta}=\ln \hat{f}^{+}-\ln \hat{f}^{-}$, asintóticamente normal, y contrastar $H_0$

Hoy se usa rddensity (Cattaneo, Jansson & Ma, 2020), con polinomios locales
No rechazar $H_0$ no prueba que no haya manipulación pues puede suceder que los individuos se hayan movido en ambas direcciones

El dilema entre sesgo y varianza

En la regresión local elegimos el orden del polinomio $p$, el kernel $K(\cdot)$ y el ancho de banda $h$
El estimador $\hat{\delta}=\hat{a}_{+}-\hat{a}_{-}$ tiene sesgo, porque el polinomio solo aproxima a $E(y_i|x_i)$ dentro de la ventana

\[ \text{MSE}(\hat{\delta}) = \text{Sesgo}^2(\hat{\delta}) + \text{Var}(\hat{\delta}) \]

Un $h$ pequeño usa observaciones muy cercanas a $c_0$ por lo que tenemos un menor error de aproximación (sesgo), pero menos observaciones (más varianza)
Un $h$ grande usa más observaciones (menos varianza), pero observaciones más lejanas en las que el polinomio aproxima peor (más sesgo)

Ancho de banda óptimo

Se puede mostrar que al minimizar $\text{MSE}(\hat{\delta})$ con respecto a $h$:

\[ h_{MSE} = \left(\frac{\mathsf{V}}{2(p+1)\mathsf{B}^2}\right)^{\frac{1}{2p+3}} n^{-\frac{1}{2p+3}} \]

donde $\mathsf{B}$ depende de la curvatura de $E(y_i|x_i)$ a cada lado del corte y $\mathsf{V}$ de la varianza condicional de $y_i$ y de la densidad de $x_i$ en $c_0$

$h_{MSE}$ es mayor cuando hay mucho ruido ($\mathsf{V}$ grande), para ganar precisión, y menor cuando $E(y_i|x_i)$ tiene mucha curvatura ($\mathsf{B}$ grande), para reducir el sesgo
$\mathsf{B}$ y $\mathsf{V}$ son desconocidos, pero se pueden estimar con los datos (Imbens & Kalyanaraman, 2012; Calonico, Cattaneo & Titiunik, 2014)

Ancho de banda óptimo

Con regresión lineal local ($p=1$), y salvo constantes que dependen solo del kernel:

\[ \mathsf{B} \propto m_{+}''(c_0) - m_{-}''(c_0) \qquad \mathsf{V} \propto \frac{\sigma^2_{+}(c_0) + \sigma^2_{-}(c_0)}{f(c_0)} \]

donde $m_{\pm}(x)=E(y_i|x_i=x)$ y $\sigma^2_{\pm}(x)=\text{Var}(y_i|x_i=x)$ a cada lado del corte, y $f$ es la densidad de $x_i$

En la práctica, cada pieza se estima en una etapa previa con un ancho de banda piloto:
- $m_{\pm}''(c_0)$ con un polinomio local de orden $p+1$ (cuadrático) a cada lado del corte
- $\sigma^2_{\pm}(c_0)$ con los residuales de una regresión local preliminar, y $f(c_0)$ con un estimador de densidad
- Se agrega un término de regularización al denominador para que $h$ no explote cuando la curvatura estimada es casi cero
$h_{MSE}$ está construido para estimar bien $\delta$, no para hacer inferencia, por lo que se emplean correcciones a los intervalos de confianza

Inferencia robusta con corrección de sesgo

El intervalo convencional ignora el sesgo: $IC_{us} = \left[\hat{\delta} \pm 1.96\sqrt{\hat{\mathsf{V}}}\right]$
Podemos restar un estimador del sesgo $\hat{\mathsf{B}}$: $IC_{bc} = \left[(\hat{\delta}-\hat{\mathsf{B}}) \pm 1.96\sqrt{\hat{\mathsf{V}}}\right]$
Aunque $IC_{bc}$ ignora que $\hat{\mathsf{B}}$ también tiene variabilidad
El intervalo robusto con corrección de sesgo (Calonico, Cattaneo & Titiunik, 2014) ajusta el error estándar por esa variabilidad adicional

\[ IC_{rbc} = \left[(\hat{\delta}-\hat{\mathsf{B}}) \pm 1.96\sqrt{\hat{\mathsf{V}}_{bc}}\right] \]

rdrobust reporta las tres versiones (Conventional, Bias-corrected y Robust)
Se recomienda reportar el efecto estimado $\hat{\delta}$ con $h_{MSE}$ y hacer inferencia con $IC_{rbc}$

Resumen

Discontinuidades nítidas: resumen

El diseño nítido se usa cuando el tratamiento es una función determinística de una variable $x_i$

\[ D_i = \begin{cases} 1 & \text{si } x_i \geq c_0 \\ 0 & \text{si } x_i < c_0 \end{cases} \]

$c_0$ es el umbral o corte
$D_i$ es una función determinística de $x_i$ pues una vez que conocemos $x_i$ entonces conocemos $D_i$
$D_i$ es una función discontinua en $x_i$ pues no importa qué tanto nos acerquemos por la izquierda o por la derecha a $c_0$, el estado del tratamiento no cambia hasta cruzad $c_0$

Discontinuidades nítidas: resumen

A diferencia de los modelos de otros diseños, no hay valor de $x_i$ en el que observemos a individuos tratados y no tratados
La interpretación del efecto estimado con diseños discontinuos es un efecto local en la vecindad de $c_0$, donde asumimos que los individuos tratados y no tratados son similares en todas las dimensiones excepto en su posición respecto a $c_0$
Una especificación flexible permite no confundir una discontinuidad con una no linealidad
En la práctica, suelen usarse polinomios de orden bajo (1 o 2) y se verifica que los resultados no sean sensibles a la especificación
La estimación no paramétrica consiste en la estimación de $\delta$ en una vecindad de $c_0$ usando regresión local no paramétrica

Discontinuidades difusas: resumen

El diseño difuso explota discontinuidades en la probabilidad o valor esperado del tratamiento condicional en una variable
El resultado es que la discontinuidad se convierte en una VI para el estado del tratamiento en vez de una variable que se prende y apaga

\[ P(D_i =1|x_i)= \begin{cases} g_1(x_i) & \text{si } x_i \geq c_0 \\ g_0(x_i) & \text{si } x_i < c_0 \end{cases} \]

Discontinuidades difusas: resumen

La primera etapa es el salto $\rho$ en $P(D_i=1|x_i)$ en $c_0$, y la forma reducida es el salto $\delta$ en $y_i$ en $c_0$
El efecto del tratamiento es el cociente

\[ \lambda = \frac{\delta}{\rho} \]

Se estima con VI usando $T_i$ como instrumento de $D_i$ (paramétrica) o con regresión local a cada lado del corte (no paramétrica)
Además de continuidad, se requieren los supuestos de VI (exogeneidad, exclusión, relevancia y monotonicidad)
Bajo estos supuestos, $\lambda$ es un LATE para los cumplidores en el corte

Diseños con discontinuidades

Inferencia Causal

Irvin Rojas

CIDE · Maestría en Economía